Čerpadlo
Úloha číslo: 155
Čerpadlo odčerpává vodu z dolu z hloubky h a na povrchu ji vypouští rychlostí o velikosti v. Za dobu t se odčerpá voda o hmotnosti m. Pětina vynaložené práce se spotřebuje na překonávání třecích sil. Určete výkon čerpadla.
Řešte nejprve obecně a pak pro hodnoty: h = 100 m, v = 30 km·h-1, t = 10 s, m = 30 kg.
Zápis
h = 100 m hloubka, z které čerpadlo odčerpává vodu v = 30 km·h-1 = 8,3 m·s-1 rychlost, kterou čerpadlo vypouští vodu t = 10 s doba, po kterou se odčerpává voda m = 30 kg hmotnost odčerpané vody P = ? (W) výkon čerpadla Nápověda 1 - práce čerpadla
Jaká je mechanická energie vody před odčerpáním a po odčerpání? Na co všechno vynakládá čerpadlo práci?
Nápověda 2 - výkon čerpadla
Co vyjadřuje výkon? Podle jakého vztahu ho můžete spočítat?
Číselný výpočet
Je dáno:
\[h\,=\, 100\,\mathrm{m},\] \[v\,=\,30\,\mathrm{km \cdot h^{-1}}\,=\,8{,}3\,\mathrm{m \cdot s^{-1}},\] \[t\,=\,10\,\mathrm{s},\] \[m\,=\,30\,\mathrm{kg},\] \[g\,=\,9{,}81\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}.\]Hledáme:
\[P\,=\,?,\] \[P\,=\,\frac {5}{4t}m\left(\frac {1}{2}v^2+gh\right),\] \[P,=\,\frac {5}{4{\cdot}10}\cdot30\cdot\left(\frac {1}{2}\cdot8{,}3^2+9{,}81{\cdot}100\right)\,\mathrm{W},\] \[P\,=\,3808{,}9\,\mathrm{W}\,=\,3{,}8\,\mathrm{kW}.\]Odpověď
Výkon čerpadla je \[P\,=\,\frac {5}{4t}m\left(\frac {1}{2}v^2+gh\right)\,=\,3{,}8\,\mathrm{kW}.\]
Celkové řešení
Čerpadlo zvedá vodu ze dna dolu na povrch, vynakládá tedy práci na zvyšení její polohové energie. Vodu vypouští rychlostí v, takže koná práci na zvýšení její kinetické energie. Část práce koná na překonání třecích sil. Celková práce čerpadla je tedy rovna
\[W\,=\,E_\mathrm{k}+E_\mathrm{p}+W_\mathrm{t},\]W…celková práce čerpadla,
Wt…práce na překonání třecích sil,
Ep…práce vykonaná na zvýšení potenciální energie vody,
Ek…práce vykonaná na zvýšení kinetické energie vody.
Práce na překonání třecích sil tvoří pětinu celkové práce čerpadla:
\[W\,=\,E_\mathrm{k}+E_\mathrm{p}+\frac {W}{5}.\]Vyjádříme si práci:
\[W\,=\,\frac {5}{4}\left(E_\mathrm{k}+E_\mathrm{p}\right).\]Voda získá potenciální energii \(E_\mathrm{p}\,=\,mgh\) a kinetickou energii \(E_\mathrm{k}\,=\,\frac{1}{2}mv^2\):
\[W\,=\,\frac{5}{4}\left(\frac{1}{2}mv^2+mgh\right).\tag{1}\]Okamžitý výkon odpovídá „okamžité rychlosti“ konání práce. Práce se koná v našem případě rovnoměrně, takže výkon můžeme vyjádřit vztahem:
\[P\,=\,\frac {W}{t}.\]Za práci W dosadíme ze vztahu (1):
\[P\,=\,\frac {5}{4t}m\left(\frac {1}{2}v^2+gh\right),\] \[P\,=\,\frac {5}{4{\cdot}10}\cdot30\cdot\left(\frac {1}{2}\cdot8{,}3^2+9{,}81{\cdot}100\right)\,\mathrm{W},\] \[P\,=\,3808{,}9\,\mathrm{W}\,=\,3{,}8\,\mathrm{kW}.\]Odpověď: Výkon čerpadla je \[P\,=\,\frac {5}{4t}m\left(\frac {1}{2}v^2+gh\right)\,=\,3{,}8\,\mathrm{kW}.\]
