Rozjíždějící se tramvaj
Úloha číslo: 193
Tramvaj se rozjíždí se stálým zrychlením 0,3 m·s−2. Za jakou dobu projede desátý metr své dráhy? Jaká je rychlost tramvaje na konci desátého metru dráhy?
Nápověda 1: Dráha rovnoměrně zrychleného pohybu
Zkuste zjistit, jaký vztah platí pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu. Pak si z něj můžete vyjádřit, jak spočítáte čas.
Nápověda 2: Doba jízdy 9 m a 10 m
Rozmyslete si, co znamená desátý metr dráhy.
Za jak dlouho projede tramvaj desátý metr?
Vyjádřete si, za jak dlouho dojede tramvaj na konec devátého metru a za jak dlouho na konec desátého metru.
Nápověda 3: Doba jízdy desátého metru
Spočítejte čas, za který ujede tramvaj desátý metr, když znáte časy pro ujetí prvních devíti a deseti metrů.
Nápověda 4: Rychlost na konci desátého metru
Jakou rychlost bude mít tramvaj na konci desátého metru? Nehodil by se k výpočtu čas zjištěný na konci desátého metru?
Celkové řešení:
Desátým metrem je myšlena pouze vzdálenost mezi devátým a desátým metrem. Ne celá vzdálenost.
Nejjednodušším způsobem, jak určit čas projetí desátého metru, je spočítat rozdíl časů, za které tramvaj ujede deset a devět metrů.
Víme, že pohyb tramvaje je rovnoměrně zrychlený. Vzorec pro výpočet dráhy rovnoměrně zrychleného pohybu je
\[s\,=\,\frac{1}{2}at^{2}\,.\]Kde s je vzdálenost, jakou tramvaj ujede, a je její zrychlení a t je doba jízdy.
Když známe tento vzorec, tak si z něj můžeme vyjádřit čas:
\[t\,=\,\sqrt{\frac{2s}{a}}\,.\tag{1}\]Zvolíme si označení pro vzdálenosti:
s9 = 9 m,
s10 = 10 m.
Podobně si označíme časy potřebné pro ujetí těchto vzdáleností:
t9 je čas, za který ujede tramvaj devět metrů,
t10 je čas, za který ujede tramvaj deset metrů.
Když máme vše označené, můžeme tyto časy vypočítat ze vzorce (1):
\[t_9 \,=\, \sqrt{\frac{2s_9}{a}}\,,\] \[t_{10} \,=\, \sqrt{\frac{2s_{10}}{a}}\,.\]Tramvaj ujede desátý metr za dobu, která vznikne rozdílem časů, kdy ujede deset metrů a devět metrů.
\[\mathrm{\Delta} t \,=\, t_{10} \,-\, t_9 \,=\, \sqrt{\frac{2s_{10}}{a}}\,-\, \sqrt{\frac{2s_9}{a}},\] \[\mathrm{\Delta} t \,=\, \sqrt{\frac{2{\cdot}10}{0{,}3}}\,\mathrm{s}\,\,-\, \sqrt{\frac{2{\cdot}9}{0{,}3}}\,\mathrm{s}\,\dot=\,0{,}42\,\mathrm{s}.\]Pro zjištění rychlosti na konci desátého metru použijeme již zjištěné údaje z předchozích nápověd. Pro rychlost rovnoměrně zrychleného pohybu platí:
\[v\,=\,at_{10}\,=\,a\sqrt{\frac{2s_{10}}{a}}\, = \,\sqrt{2s_{10}a}, \] \[v\,= \,\sqrt{2{\cdot}10\cdot0{,}3}\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\,\dot {=}\,2{,}4\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}.\]Výsledek
Desátý metr své dráhy projede tramvaj za čas
\[\mathrm{\Delta} t \,=\, t_{10} - t_9 \,=\, \sqrt{\frac{2s_{10}}{a}}\,-\, \sqrt{\frac{2s_9}{a}}\,\dot=\,0{,}42\,\mathrm{s}\,.\]Na konci desátého metru dráhy má tramvaj rychlost
\[v\,= \,\sqrt{2s_{10}a}\,\dot=\, 2{,}4\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\,.\]
