Vrh svislý vzhůru
Úloha číslo: 195
Z povrchu Země je vystřelen kolmo vzhůru dělostřelecký granát hmotnosti m, jeho rychlost při výstřelu je v1. Určete:
a) maximální výšku h, do které granát vystoupí,
b) rychlost vd granátu při dopadu zpět na zem,
c) celkovou dobu letu granátu tc.
Poznámka: Odpor vzduchu neuvažujte. Tíhové pole považujte za homogenní.
Nápověda 1
K nalezení maximální výšky h lze využít dva různé fyzikální přístupy. Objevíte alespoň jeden z nich?
Nápověda 2: Vypočtení maximální výšky h ze ZZME
Zvolme na povrchu Země hladinu nulové potenciální energie. Jaký druh energie má granát v okamžiku, kdy povrch opouští? Co se s touto energií stane, když vystoupá do maximální výšky h?Komentář: Alternativní nalezení maximální výšky h
Alternativně lze výšku h určit z kinematických úvah. Pohyb granátu směrem vzhůru je rovnoměrně zpomalený (nejde o nic jiného než o vrh svislý vzhůru) a je popsán rovnicemi:
\[H(t)\,=\,v_1t\,-\,\frac{1}{2}gt^2\,,\]
\[v(t)\,=\,v_1\,-\,gt\,,\]
kde H(t) je výška nad zemí v čase t a v(t) rychlost v čase t.
V čase t = t0, kdy granát dosáhne maximální výšky, platí: H(t0) = h, v(t0) = 0. Tedy:
\[h\,=\,v_1t_0\,-\,\frac{1}{2}gt_0^2\,,\]
\[0\,=\,v_1\,-\,gt_0\,.\]
Z druhé rovnice vyjádříme čas t0 a dosadíme do první rovnice:
\[t_0 = \frac{v_1}{g}\,,\]
\[h\,=\,v_1(\frac{v_1}{g})\,-\,\frac{1}{2}g(\frac{v_1}{g})^2\,=\,\frac{v_1^2}{2g}\,.\]
Nápověda 3: Určení rychlosti vd při dopadu
Vyjděte ze ZZME. Jakou celkovou mechanickou energii má granát při dopadu? Srovnejte ji s celkovou energií na počátku pohybu (tj. těsně po vystřelení).
Nápověda 4: Výpočet celkového času tc
Vyjděte z kinematických úvah pro vrh svislý vzhůru. Znovu použijte vztah popisující při tomto vrhu závislost výšky nad zemí H(t) na čase. Jaká je tato výška v okamžiku dopadu? Správný postup vás dovede k řešení kvadratické rovnice pro čas.
Komentář: Alternativní nalezení doby letu tc
Nalezneme tc jako součet doby výstupu (označíme tv) a doby sestupu (označíme ts).
Pro výstup platí:
\[v(t)\,=\,v_1\,-\,gt.\]
Po uplynutí doby výstupu tv je rychlost v(tv) = 0:
\[0\,=\,v_1\,-\,gt_\mathrm{v},\]
\[t_\mathrm{v}\,=\,\frac{v_1}{g}.\]
Pro sestup platí:
\(v(t)\,=\,gt\) (jde o volný pád).
Po uplynutí doby sestupu ts je rychlost v(ts) rovna rychlosti dopadu: v(ts) = vd. Tedy:
\[v_\mathrm{d}\,=gt_\mathrm{s},\]
\[t_\mathrm{s}\,=\,\frac{v_\mathrm{d}}{g}.\]
Pro celkový čas letu tc platí:
\(t_\mathrm{c}\,=\,t_\mathrm{v}\,+\,t_\mathrm{s}\,=\,\frac{v_1}{g}\,+\,\frac{v_\mathrm{d}}{g}\,=\,\frac{2v_1}{g}\,,\)
protože jsme v části b) ukázali, že v1 = vd.Celkové řešení
a) Nalezení maximální výšky h:
1. způsob: Pomocí zákona zachování mechanické energie:
Zvolme na povrchu Země hladinu nulové potenciální energie. V okamžiku, kdy granát opouští zemský povrch, má kinetickou energii Ek1:
\(E_\mathrm{k1}\,=\,\frac{1}{2}mv_1^2\,,\)
která je současně jeho celkovou mechanickou energií (potenciální energie Ep1 = 0 dle naší počáteční volby).
Jak se granát dostává výš a výš, jeho pohyb se zpomaluje, klesá jeho kinetická a roste jeho potenciální energie. Když dosáhne maximální výšky h, je jeho rychlost, a tedy i kinetická energie Ek2 nulová (Ek2 = 0). Veškerá počáteční mechanická energie se přeměnila na potenciální energii Ep2:
\(E_\mathrm{p2}\,=mgh\) (kde g je tíhové zrychlení).
Neuvažujeme-li odpor vzduchu, musí dle ZZME platit:
\(E_\mathrm{k1}\,+\,E_\mathrm{p1}\,=\,E_\mathrm{k2}\,+\,E_\mathrm{p2}\,,\)
\(\frac{1}{2}mv_1^2\,+\,0\,=\,0\,+\,mgh\,,\) tedy:
\(h\,=\,\frac{v_1^2}{2g}\,.\)
2. způsob: Pomocí kinematických vztahů:
Pohyb granátu směrem vzhůru je rovnoměrně zpomalený (nejde o nic jiného než o vrh svislý vzhůru), a je tedy popsán rovnicemi:
\[H(t)\,=\,v_1t\,-\,\frac{1}{2}gt^2\,,\]
\[v(t)\,=\,v_1\,-\,gt\,,\]
kde H(t) je výška nad zemí v čase t a v(t) rychlost v čase t.
V čase t = t0, kdy granát dosáhne maximální výšky, platí: H(t0) = h, v(t0) = 0. Tedy:
\[h\,=\,v_1t_0\,-\,\frac{1}{2}gt_0^2\,,\]
\[0\,=\,v_1\,-\,gt_0\,.\]
Z druhé rovnice vyjádříme čas t0 a dosadíme do první rovnice:
\[t_0 = \frac{v_1}{g},\]
\[h\,=\,v_1(\frac{v_1}{g})\,-\,\frac{1}{2}g(\frac{v_1}{g})^2\,=\,\frac{v_1^2}{2g}\,.\]
b) Určení rychlosti vd při dopadu:
Dle ZZME se mechanická energie granátu během celého pohybu zachovává – celková mechanická energie se tedy na počátku a na konci pohybu bude rovnat.
Na počátku pohybu měl granát pouze kinetickou energii \(E_\mathrm{k1}\,=\,\frac{1}{2}mv_1^2\), na konci pohybu (v okamžiku dopadu) pouze kinetickou energii \(E_\mathrm{kd}\,=\,\frac{1}{2}mv_\mathrm{d}^2\).
Protože ze ZZME platí: \(E_\mathrm{k1}\,=\,E_\mathrm{kd}\), zjevně je i \(v_1\,=\,v_\mathrm{d}\).
Rychlost vd má stejnou velikost jako rychlost v1 a opačný směr.
c) Určení doby letu tc:
1. způsob:
Pro aktuální výšku svislého vrhu vzhůru platí:
\[H(t)\,=\,v_1t\,-\,\frac{1}{2}gt^2\,.\]
V čase t = tc (tedy na konci pohybu) je výška opět nulová (granát právě dopadl), tj.:
\[H(t_\mathrm{c})\,=\,0\,.\]
Odtud dostáváme kvadratickou rovnici pro čas:
\[0\,=\,v_1t_\mathrm{c}\,-\,\frac{1}{2}gt_\mathrm{c}^2,\]
\[0\,=\,t_\mathrm{c}(v_1\,-\,\frac{1}{2}gt_\mathrm{c}).\]
Vyřešením této kvadratické rovnice získáme 2 řešení:
\(t_\mathrm{c1}\,=\,0\)… vyjadřuje stav na počátku pohybu (t = 0; H(0) = 0),
\(t_\mathrm{c2}\,=\,\frac{2v_1}{g}\)… hledané řešení.
2. způsob:
Alternativně nalezneme tc jako součet doby výstupu (označíme tv) a doby sestupu (označíme ts).
Pro výstup platí:
\(v(t)\,=\,v_1\,-\,gt.\)
Po uplynutí doby výstupu tv je rychlost v(tv) = 0:
\(0\,=\,v_1\,-\,gt_v,\)
\(t_\mathrm{v}\,=\,\frac{v_1}{g}.\)
Pro sestup platí:
\(v(t)\,=\,gt\) (jde o volný pád).
Po uplynutí doby sestupu ts je rychlost v(ts) rovna rychlosti dopadu: v(ts) = vd, tedy:
\[v_\mathrm{d}\,=gt_\mathrm{s},\]
\[t_\mathrm{s}\,=\,\frac{v_\mathrm{d}}{g}.\]
Pro celkový čas letu tc platí:
\[t_\mathrm{c}\,=\,t_\mathrm{v}\,+\,t_\mathrm{s}\,=\,\frac{v_1}{g}\,+\,\frac{v_\mathrm{d}}{g}\,=\,\frac{2v_1}{g}\,,\]
protože jsme v části b) ukázali, že v1 = vd.Výsledek
a) Vztah pro maximální výšku:
\[h = \frac{v_{1}^{2}}{2g}\,.\]
b) Rychlost granátu při dopadu:
\(v_\mathrm{d} = v_{1}\), rychlosti mají opačný směr.
c) Celková doba letu:
\[t_\mathrm{c}=\frac{2v_{1}}{g}\,.\]
