Kolotoč a vzduchovka
Úloha číslo: 202
Na koníčkovém kolotoči je radiálně umístěna vzduchovka s ústím ve vzdálenosti 1 m od osy otáčení. Puška je namířena na střed terče upevněného na obvodu kolotoče o poloměru 5 m. Kolotoč se rovnoměrně otáčí, jednu otáčku udělá za 8 s. Rychlost střely vystřelené z pušky je 150 m·s−1. Terč je kruhový, poloměr terče je 5 cm.
Mine střela cíl (a případně o kolik)?
Odpověď zdůvodněte. Řešte z hlediska pozorovatele stojícího vedle kolotoče, odpor vzduchu zanedbejte.
Zápis
R = 5 m poloměr kolotoče T = 8 s perioda otáčení kolotoče v = 150 m·s−1 rychlost střely rt = 5 cm = 0,05 m poloměr terče r = 1 m vzdálenost hlavně vzduchovky od osy otáčení Nápověda 1
Rozmyslete si, jaké složky rychlosti bude mít vystřelená střela vzhledem k pozorovateli stojícímu vedle kolotoče.
Nápověda 2
Spočítejte dobu, za kterou dorazí střela na okraj kolotoče.
O kolik se za tu dobu posune terč po okraji kolotoče?
Zakřivení trajektorie terče můžete zanedbat.
Nápověda 3
Vypočítejte velikost složky rychlosti střely, kterou získala díky otáčení vzduchovky.
Vypočítejte vzdálenost, kterou střela urazí ve směru této složky rychlosti za dobu, než doletí na okraj kolotoče.
Celkové řešení
Úlohu budeme řešit v inerciálním systému spojeném se zemí. Střela bude mít složku rychlosti ve směru radiálním a složku rychlosti ve směru tečny ke kružnici o poloměru r (střela se v hlavni otáčela spolu s kolotočem).
Potřebujeme zjistit, o kolik se terč pootočí, než se střela dostane na okraj kolotoče. K tomu musíme zjistit čas, během něhož střela letí od ústí pušky k terči:
\[ t=\frac{R-r}{v}\,.\]Zároveň, protože se střela v pušce také pohybovala po kružnici, má střela složku rychlosti ve směru tečny ke kružnici. Velikost této složky je dána vztahem:
\[v_{0} = \omega r = \frac{2\pi}{T} r\,.\]V okamžiku, kdy střela vylétla z hlavně pušky, přestala být spojena s kolotočem. Dále se tato složka její rychlosti nezvyšuje, neboť na střelu nepůsobí žádná síla, která by ji urychlovala v tomto směru.
Za čas t, za který se střela dostane na okraj kolotoče, se terč posune o vzdálenost:
\[x=\omega R t = \frac{2\pi}{T} R \frac{R-r}{v} = \frac{2\pi}{8}\,\cdot\, 5\, \cdot\, \frac{5-1}{150}\,\mathrm{m} \dot{=} 0{,}105\,\mathrm{m} =10{,}5\,\mathrm{cm}\,.\]Za tentýž čas urazí střela při pohybu po kružnici vzdálenost
\[x^{,} = v_{0}t = \frac{2\pi}{T} rt = r\frac{2\pi}{T}\frac{R-r}{v} = 1\,\cdot\frac{2\pi}{8}\,\cdot\,\frac{5-1}{150}\,\mathrm{m} \dot{=} 0{,}021\,\mathrm{m} = 2{,}1\,\mathrm{cm}\,.\]Střela tedy mine střed terče o vzdálenost \(x-x^{,}\dot{=} 8{,}4\,\mathrm{cm}\, .\) Terč má poloměr 5 cm, takže střela mine jeho okraj o 3,4 cm.
Odpověď
Střela mine okraj terče o 3,4 cm.
Komentář:
Při řešení jsme uvažovali, že se terč během krátké doby, než střela doletí k okraji kolotoče, pohybuje po přímce. Ve skutečnosti terč opisuje kružnici. Podívejme se, jaké chyby jsme se při našem zanedbání dopustili.
K určení chyby si zvolíme soustavu souřadnic (viz obrázek) a zkusíme si, o kolik se budou lišit jednotlivé souřadnice terče.
Pokud by se terč pohyboval po přímce kolmé k ose x, pak, za dobu než střela dorazí na okraj kolotoče, by měl souřadnice
\[x=5\,\mathrm{m}\,,\] \[y=\omega Rt\dot{=}0{,}104719755\,\mathrm{m}\,.\]Pro souřadnice terče pohybujícího se po kružnici platí:
\[x=Rcos\alpha=Rcos\left(\omega t\right)\dot{=}4{,}998903417\,\mathrm{m}\,,\] \[y=Rsin\alpha=Rsin\left(\omega t\right)\dot{=}0{,}104712099\,\mathrm{m}\,.\]Chyba určení souřadnice x je přibližně 0,02 % a chyba určení souřadnice y je přibližně 7 ‰.
