Kotva
Úloha číslo: 209
Kotva z oceli přiléhá k U-jádru z téhož materiálu. Na jádru je navinuta cívka se 600 závity. Průřez jádra je 6,25 cm2, délka střední siločáry 50 cm a relativní permeabilita oceli μr = 1200. Jaký proud musí protékat cívkou, aby kotva byla držena silou 500 N?
Poznámka: Při odtržení kotvy od jádra uvažujte permeabilitu pole ve vzduchové mezeře rovnu permeabilitě vakua.
Nápověda
Síla, kterou je kotva držena k jádru, se rovná síle, kterou musíme vynaložit, abychom kotvu odtrhli. Při malém vzdalování kotvy se práce vnějších sil projeví jako přírůstek energie magnetického pole.
Rozbor
Abychom mohli odtrhnout kotvu od jádra cívky, musíme vykonat práci, která je rovna přírůstku energie uložené v magnetickém poli.
Práce, kterou vykonáme při odtahování kotvy od jádra, se rovná práci síly, kterou působíme po malé dráze. Energie uložená v magnetickém poli cívky je rovna hustotě energie magnetického pole ve vzduchové mezeře, která vznikne posunutím kotvy.
Řešení
Při odtržení kotvy od jádra cívky musíme vykonat práci dW, která je rovna energii dE uložené v magnetickém poli vzniklé vzduchové mezery o šířce dx:
\[\mathrm{d}W=\mathrm{d}E.\]Práci si vyjádříme jako sílu \(\vec{F}\), kterou působíme ve stejném směru po malé dráze dx. Energii pak vyjádříme pomocí hustoty energie magnetického pole w v malém objemu dV:
\[F\mathrm{d}x=w\mathrm{d}V.\tag{1}\]Pro hustotu energie magnetického pole platí:
\[w=\frac{1}{2}\frac{B^2}{\mu_\mathrm{0}}.\]Odvození hustoty energie najdete v dalším oddíle.
Hustotu energie dosadíme do rovnice (1) a dostáváme vztah:
\[F\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\frac{B^2}{\mu_\mathrm{0}}\mathrm{d}V.\]Infinitezimální objem dV při malém posunutí od jádra si můžeme vyjádřit jako dV = 2Sdx, kde S je průřez jádra. Protože jádro přisedá ke kotvě na dvou místech, musíme uvažovat dvě vzduchové mezery:
\[F\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\,\frac{B^2}{\mu_\mathrm{0}}\,2S\mathrm{d}x.\]Pro velikost síly, kterou musíme vykonat, aby se kotva odtrhla od ocelového jádra, dostáváme vztah:
\[F=\frac{B^2}{\mu_\mathrm{0}}S.\]Za velikost magnetické indukce dosadíme výraz pro magnetickou indukci cívky a vezmeme v úvahu, že cívka je namotána na ocelovém jádře o relativní permeabilitě μr:
\[B=\frac{\mu_\mathrm{0} \mu_\mathrm{r} N I}{l}.\]Síla potřebná na odtržení kotvy od jádra je tedy:
\[F=\frac{\mu_\mathrm{0} {\mu_\mathrm{r}}^2 N^2 I^2S}{l^2}.\]Z výrazu pro velikost síly F vyjádříme neznámý proud I, který musí cívkou procházet:
\[I=\frac{l}{\mu_\mathrm{r} N}\,{\sqrt{\frac{2F}{\mu_0 S}}}\mathrm{.}\]Odvození hustoty energie magnetického pole w
Uvažujme cívku s průřezem o obsahu S. V ní sledujeme úsek délky l, který vymezuje uvnitř cívky objem V o velikosti Sl. Protéká-li cívkou proud I, vytvoří se uvnitř objemu V homogenní pole o velikosti magnetické indukce B. Pole vně cívky je téměř nulové.
Pro celkovou energii magnetického pole cívky platí vztah:
\[E=\frac{1}{2}LI^2.\]Hustotu energie pak můžeme vyjádřit jako:
\[w=\frac{E}{V}=\frac{LI^2}{2Sl}.\]Za indukčnost L dosadíme vztah pro indukčnost cívky:
\[L=\mu _0 N^2 lS.\]Pro hustotu magnetického pole tedy dostáváme výraz:
\[w=\frac{1}{2}\frac{\mu_0 N^2lS I^2}{Sl}=\frac{1}{2}\mu_0 N^2 I^2.\]Uvědomíme-li si, že pro velikost magnetické indukce vně cívky platí tvar:
\[B=\mu_\mathrm{0} N I,\]můžeme výraz pro hustotu energie upravit na tvar:
\[w=\frac{1}{2}\frac{B^2}{\mu_\mathrm{0}}.\]Zápis a číselné dosazení
\(N = 600\) počet závitů cívky \(\mu_\mathrm{r} = 1200\) relativní permeabilita oceli \(S = 6{,}25\,\mathrm{cm^{2}}=6{,}25{\cdot} 10^{-4}\,\mathrm{m^{2}}\) průřez jádra cívky \(l=50\,\mathrm{cm}=0{,}50\,\mathrm{m}\) délka střední siločáry \(F=500\,\mathrm{N}\) síla držící kotvu \(I = \mathrm{?}\,\mathrm{(A)}\) proud tekoucí cívkou Z tabulek: \(\mu_\mathrm{0} = 4 \pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{H m^{-1} }\) permeabilita vakua
\[I=\frac{l}{\mu_\mathrm{r} N}\,{\sqrt{\frac{F}{\mu_0 S}}}=\frac{0{,}5}{1200 {\cdot} 600}\,{\sqrt{\frac{500}{4\cdot \pi \cdot 10^{-7} \cdot 6{,}25{\cdot} 10^{-4}}}}\,\mathrm{A}\,\dot{=}\,0{,}554\,\mathrm{A} = 554\,\mathrm{mA}\]Odpověď
Aby byla kotva k jádru držena silou 500 N, musí cívkou protékat proud o velikosti přibližně 554 mA.
