Dívka táhne sáňky po zasněženém chodníku

Úloha číslo: 23

Dívka táhne naložené sáňky o hmotnosti 20 kg po vodorovném zasněženém chodníku. Rychlost saní je konstantní. Koeficient dynamického tření mezi skluznicí a chodníkem je 0,1 a úhel, který svírá provaz s chodníkem, je 30°. Určete:

1) zrychlení sáněk,

2) velikost tažné síly, kterou dívka působí na sáňky,

3) velikost tlakové síly, kterou působí sáňky na chodník,

4) velikost třecí síly působící na sáňky.

Zápis

m = 20 kg	hmotnost naložených sáněk
f_d = 0,1	koeficient dynamického tření mezi skluznicí a chodníkem
φ = 30°	úhel, který svírá provaz s chodníkem
a = ? (m·s^-2)	zrychlení sáněk
T = ? (N)	velikost tažné síly, kterou dívka působí na sáňky
N = ? (N)	velikost tlakové síly, kterou působí sáňky na chodník
F_t = ? (N)	velikost třecí síly působící na sáňky

Nápověda 1 - zrychlení saní, síly působící na sáně
Uvědomte si, co to znamená pro zrychlení (a tedy i výslednou sílu), když je rychlost konstantní. Nakreslete si obrázek a vyznačte v něm všechny síly, které působí na sáňky. Použijte 2. Newtonův zákon \(\mathrm{\Sigma}\vec{F}\,=\,m\vec{a}\) a napište pohybovou rovnici pro sáňky.
Řešení k nápovědě 1 - zrychlení saní, síly působící na sáně
Zrychlení saní:

Pokud je rychlost sáněk konstantní, znamená to, že jejich rychlost se s časem nemění a zrychlení sáněk je tedy rovno nule (\(\vec{a}\,=\,0\)).

Síly působící na sáňky:

\(\vec{F}_\mathrm{G}\)…síla tíhová

\(\vec{N}\)…síla, kterou tlačí chodník na sáňe

\(\vec{T}\)…hledaná tahová síla, kterou dívka táhne sáňky po chodníku

\(\vec{F}_\mathrm{t}\)…síla třecí, určuje, jak se sáňky „brzdí“ o chodník

Pohybová rovnice pro sáňky:
\[ \vec{F}_\mathrm{G}+ \vec{N} + \vec{T} + \vec{F}_\mathrm{t} \,=\, m\vec{a} \,=\, 0 \tag{1}\]
Nápověda 2 - pohybová rovnice skalárně
Pohybovou rovnici je třeba zapsat skalárně. Zvolte vhodně souřadný systém, najděte průměty sil do příslušných směrů a přepište v těchto směrech pohybovou rovnici.
Řešení k nápovědě 2 - pohybová rovnice skalárně
Osu x volíme vodorovně ve směru pohybu a osu y volíme svisle.

Průmět do osy x:
\[ T\cos\varphi - F_{t} \,=\, 0 .\tag{2}\]
Průmět do osy y:
\[N + T\sin\varphi - F_G \,=\, 0 .\tag{3}\]
Poznámka: Obvykle volíme jednu z os ve směru pohybu a druhou kolmou na směr pohybu.
Nápověda 3 - velikost tažné síly, třecí síla
Uvědomte si, na čem závisí velikost třecí síly a jak se dá vyjádřit.
Řešení k nápovědě 3 - velikost tažné síly, třecí síla
Třecí síla je úměrná síle, kterou tlačí sáňky na chodník, ta je podle 3. Newtonova zákona stejně velká jako síla, kterou tlačí chodník na sáňky.

Třecí sílu F_t můžeme tedy vyjádřit jako:
\[F_\mathrm{t} \,=\, Nf_\mathrm{d}.\tag{4}\]
Sílu N, kterou tlačí chodník na sáňky, vyjádříme z rovnice (3):
\[N \,=\, mg - T\sin\varphi.\tag{5}\]
Z rovnic (4) a (5) dostáváme:
\[F_\mathrm{t} \,=\, f_\mathrm{d}\left(mg - T\sin\varphi\right).\tag{6}\]
Vztah (6) dosadíme do rovnice (2):
\[T\cos\varphi - f_\mathrm{d}(mg - T\sin\varphi) \,=\, 0,\] \[T\cos\varphi - f_\mathrm{d} mg + f_\mathrm{d} T\sin\varphi \,=\, 0,\] \[T(\cos\varphi + f_\mathrm{d}\sin\varphi)-f_\mathrm{d} mg\,=\, 0.\tag{7}\]
Z rovnice (7) už jen vyjádříme tahovou sílu:
\[T \,=\, \frac{mgf_\mathrm{d}}{\cos\varphi + f_\mathrm{d}\sin\varphi}.\tag{8}\]
Nápověda 4 - velikost tlakové síly
Síla, kterou tlačí sáňky na chodník, je podle 3. Newtonova zákona stejně velká jako síla, kterou tlačí chodník na sáňky. Velikost síly N, kterou tlačí chodník na sáně, je již vyjádřena vztahem (5):
\[N \,=\, mg - T\sin\varphi.\tag{5}\]
Stačí pouze dosadit.
Řešení k nápovědě 4 - velikost tlakové síly
Síla N, kterou tlačí chodník na sáně, je vyjádřena vztahem (5):
\[N \,=\, mg - T\sin\varphi.\tag{5}\]
Dosadíme-li za T ze vztahu (8), dostaneme výraz:
\[N \,=\, mg - \frac{mgf_\mathrm{d}}{\cos\varphi + f_\mathrm{d}\sin\varphi}\sin\varphi \,=\, mg (1 - \frac{f_\mathrm{d}\sin\varphi}{\cos\varphi + f_\mathrm{d}\sin\varphi})\,=\] \[\,=\, mg(\frac{\cos\varphi}{\cos\varphi + f_\mathrm{d}\sin\varphi}) \,=\, mg(\frac{1}{1 + f_\mathrm{d}\tan\varphi}).\tag{9}\]
Nápověda 5 - velikost třecí síly
Velikost třecí síly F_t je již vyjádřena vztahem (4):
\[F_\mathrm{t} \,=\, Nf_\mathrm{d}.\tag{4}\]
Stačí pouze dosadit.
Řešení k nápovědě 5 - velikost třecí síly
Třecí síla F_t je dána vztahem (4):
\[F_\mathrm{t} \,=\, Nf_\mathrm{d}.\tag{4}\]
Dosadíme-li do rovnice (4) za N z rovnice (9), pak:
\[F_\mathrm{t} \,=\, mg\left(\frac{1}{1 + f_\mathrm{d}\tan\varphi}\right)f_\mathrm{d}.\tag{10}\]
Poznámka: Třecí síla F_t není obecně rovna součinu mgf_d, protože provázek sáňky „nadlehčuje“, takže tlačí na chodník méně a kolmá tlaková síla N je tedy menší než mg.
CELKOVÉ ŘEŠENÍ BODU 1 - zrychlení saní
Pokud je rychlost sáněk konstantní, jejich rychlost se s časem nemění a zrychlení sáněk je tedy rovno nule (\(\vec{a} \,=\, 0\)).

Odpověď: Zrychlení sáněk a je nulové.
CELKOVÉ ŘEŠENÍ BODU 2 - velikost tažné síly
Síly působící na sáňky:

\(\vec{F}_\mathrm{G} \)...síla tíhová

\(\vec{N} \)...síla, kterou tlačí chodník na sáňe

\(\vec{T}\)...hledaná tahová síla, kterou dívka táhne sáňky po chodníku

\(\vec{F}_\mathrm{t}\)...síla třecí, určuje, jak se sáňky „brzdí“ o chodník

Pohybová rovnice pro sáňky:
\[\vec{F}_\mathrm{G}+\vec{N}+\vec{T}+\vec{F}_\mathrm{t}\,=\,m\vec{a}\,=\,0\tag{1}\]
m…hmotnost saní

\(\vec{a}\)…zrychlení saní

Protože rychlost \(\vec{v}\) je konstantní, pak je zrychlení \(\vec{a}\) nulové a výslednice sil působících na sáně je tedy také nulová.

Zvolíme vhodně souřadný systém a pohybovou rovnici (1) přepíšeme skalárně. Osu x volíme vodorovně ve směru pohybu a osu y volíme svisle — podle obrázku.

Průmět do osy x:
\[ T\cos\varphi - F_\mathrm{t} \,=\, 0. \tag{2}\]
Průmět do osy y:
\[N + T\sin\varphi - F_\mathrm{G} \,=\, 0. \tag{3}\]
Třecí síla je úměrná síle, kterou tlačí sáňky na chodník, ta je podle 3. Newtonova zákona stejně velká jako síla, kterou tlačí chodník na sáňky.

Třecí sílu F_t můžeme tedy vyjádřit jako:
\[F_\mathrm{t} = Nf_\mathrm{d}.\tag{4}\]
Sílu N, kterou tlačí chodník na sáňky, vyjádříme z rovnice (3):
\[N \,=\, mg - T\sin\varphi.\tag{5}\]
Z rovnic (4) a (5):
\[F_\mathrm{t} \,=\, f_\mathrm{d}\left(mg - T\sin\varphi\right).\tag{6}\]
Po dosazení rovnice (6) do rovnice (2) můžeme průmět sil do osy x napsat jako:
\[T\cos\varphi - f_\mathrm{d}\left(mg - T\sin\varphi\right) \,=\, 0.\tag{7}\]
Z rovnice (7) už jen vyjádříme tahovou sílu:
\[T \,=\, \frac{mgf_\mathrm{d}}{\cos\varphi + f_\mathrm{d}\sin\varphi}.\tag{8}\]
Do rovnice (8) dosadíme číselně:
\[T \,=\, \frac{20{\cdot}9{,}81{\cdot}0{,}1}{\cos 30^{\circ} + 0{,}1\cdot\sin30^{\circ}}\,\mathrm{N} \,=\,\frac{19{,}62}{\frac{\sqrt{2}}{2} + 0{,}1{\cdot}0{,}5}\,\mathrm{N},\] \[T\,=\,21{,}4\,\mathrm{N}.\]
Odpověď: Velikost tažné síly T, kterou táhne dívka sáňky, je 21,4 N.
CELKOVÉ ŘEŠENÍ BODU 3 - velikost tlakové síly
Síla, kterou tlačí sáňky na chodník, je podle 3. Newtonova zákona stejně velká jako síla, kterou tlačí chodník na sáňky. Síla N, kterou tlačí chodník na sáně, je daná vztahem (5):
\[N \,=\, mg - T\sin\varphi.\tag{5}\]
Dosadíme-li za T ze vztahu (7), dostaneme výraz:
\[N \,=\, mg - \frac{mgf_\mathrm{d}}{\cos\varphi + f_\mathrm{d}\sin\varphi}\sin\varphi \,=\, mg \left(1 - \frac{f_\mathrm{d}\sin\varphi}{\cos\varphi + f_\mathrm{d}\sin\varphi}\right)\,=\,\] \[\,=\, mg\left(\frac{\cos\varphi}{\cos\varphi + f_\mathrm{d}\sin\varphi}\right) \,=\, mg\left(\frac{1}{1 + f_\mathrm{d}\tan\varphi}\right).\tag{9}\]
Dosadíme číselně do rovnice (9):
\[N \,=\, 20{\cdot}9{,}81\left(\frac{1}{1 + 0{,}1\tan30^{\circ}}\right)\,\textrm{N}\,=\, 196{,}2\left(\frac{1}{1 + 0{,}1\frac{\sqrt{3}}{3}}\right)\,\mathrm{N},\] \[N\,=\,185{,}5\,\mathrm{N}.\]
Odpověď: Velikost tlakové síly N, kterou působí sáňky na chodník, je 185,5 N.
CELKOVÉ ŘEŠENÍ BODU 4 - velikost třecí síly
Třecí síla F_t je dána vztahem (4):
\[F_\mathrm{t} \,=\, Nf_\mathrm{d}.\tag{4}\]
Dosadíme-li do rovnice (4) za N z rovnice (9), pak:
\[F_\mathrm{t} \,=\, mg\left(\frac{1}{1 + f_\mathrm{d}\tan{\varphi}}\right)f_\mathrm{d}.\tag{10}\]
Do rovnice (10) dosadíme číselně:
\[F_\mathrm{t}\,=\, 20{\cdot} 9{,}81\left(\frac{1}{1 + 0{,}1\,\tan{30^{\circ}}}\right)0{,}1\,\mathrm{N}\,=\, 19{,}62\,\left(\frac{1}{1 + 0{,}1\frac{\sqrt{3}}{3}}\right)\,\mathrm{N},\] \[F_\mathrm{t}\,=\,18{,}6\,\mathrm{N}.\]
Odpověď: Velikost třecí síly F_t působící na sáňky je 18,6 N.
CELKOVÁ ODPOVĚĎ

1) Zrychlení sáněk a je rovno nule.

2) Velikost tažné síly, kterou dívka působí na sáňky, je

\[T \,=\, \frac{mgf_\mathrm{d}}{\cos\varphi + f_\mathrm{d}\sin\varphi}\,=\,21{,}4\,\mathrm{N}.\]

3) Velikost tlakové síly, kterou působí sáňky na chodník, je

\[N \,=\, mg\left(\frac{1}{1 + f_\mathrm{d}\tan\varphi}\right)\,=\,185{,}5\,\mathrm{N}.\]

4) Velikost třecí síly působící na sáňky je

\[F_\mathrm{t} \,=\, mg\left(\frac{1}{1 + f_\mathrm{d}\tan\varphi}\right)f_\mathrm{d}\,=\,18{,}6\,\mathrm{N}.\]

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy

×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994 - upraveno Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2011).