Třecí síla a smyk v zatáčce

Úloha číslo: 230

a) Třecí síla v zatáčce

Jak velká je třecí síla mezi silnicí a pneumatikami dodávky o hmotnosti 2000 kg, která projíždí zatáčkou o poloměru 100 m? Rychlost dodávky je 72 km·h⁻¹. Dodávka nedostala smyk.

b) Smyk v zatáčce

Jakou rychlostí jela dodávka, jestliže v zatáčce o poloměru 100 m dostala smyk? Koeficient klidového tření je 0,35. Hmotnost dodávky je 2000 kg.

Úlohu řešte z pohledu inerciálního pozorovatele spojeného se silnicí i neinerciálního pozorovatele spojeného s dodávkou.

Zápis

m = 2000 kg	hmotnost dodávky
R = 100 m	poloměr zatáčky
v₁ = 72 km·h⁻¹ = 20 m·s⁻¹	rychlost dodávky
f = 0,35	koeficient klidového tření mezi silnicí a pneumatikami
F_t = ?	třecí síla mezi silnicí a pneumatikami (bez smyku)
v₂ = ?	rychlost dodávky, při které dostane smyk

Nápověda 1a) – třecí síla z hlediska inerciálního systému
Rozmyslete si, jaké síly působí na auto v zatáčce vzhledem k inerciálnímu systému (spojenému se silnicí).
Řešení nápovědy 1a – třecí síla z hlediska inerciálního systému
Na auto v zatáčce z pohledu inerciálního systému spojeného se silnicí působí svisle dolů tíhová síla a v opačném směru do něj tlačí vozovka. Síly jsou stejně velké a jejich výslednice je nula. Na auto dále působí třecí síla F_t (klidová — auto se nesmýká), díky níž auto zatočí. Třecí síla uděluje autu příslušné dostředivé zrychlení a je pro něj současně silou dostředivou.
Nápověda 2a) – třecí síla z hlediska inerciálního systému
Vyjádřete velikost dostředivé síly při dané rychlosti auta.
Řešení nápovědy 2a) – třecí síla z hlediska inerciálního systému
Velikost dostředivé síly je rovna:
\[F_{\mathrm{do}} = F_\mathrm{t}\,=\,m\frac{v_1^{2}}{R}.\]
Číselně:
\[F_\mathrm{t}\,=\,2000\,\cdot\,\frac{20^{2}}{100}\,\mathrm{N}\,=\,8000\,\mathrm{N}.\]
Aby se auto udrželo při dané rychlosti v zatáčce a nezačalo se pohybovat jinak než po kružnici, musí být třecí síla rovna 8000 N.
Nápověda 3a) – smyk z hlediska inerciálního systému
Rozmyslete si, jaké maximální hodnoty může dosáhnout klidová třecí síla. V jakém okamžiku se auto již v zatáčce neudrží a dostane smyk? Jaká bude hraniční rychlost, při které to nastane?
Řešení nápovědy 3a) – smyk z hlediska inerciálního systému
Maximální hodnota klidové třecí síly je rovna:
\[F_\mathrm{tmax} = fF_\mathrm{N}=fmg,\]
kde F_N je velikost tlakové síly kolmé k silnici a g je tíhové zrychlení.

Jestliže bude rychlost auta taková, že dostředivá síla potřebná k zatočení auta přesáhne hodnotu maximální klidové třecí síly, dojde ke smyku.

Kritická podmínka je tedy:
\[F_\mathrm{tmax} = fmg = m\frac{v_\mathrm{max}^{2}}{R}.\]
Odtud:
\[v_\mathrm{max}^{2} = fgR,\] \[v_\mathrm{max} = \sqrt{Rgf}.\]
Číselně:
\[v_\mathrm{max} \,=\,\sqrt{100\,\cdot\,9{,}81\,\cdot\,0{,}35}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,\dot{=}\,18{,}5\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}.\]
Pro rychlost \(v_2\,>\,\sqrt{Rgf}\,\dot{=}\,18{,}5\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\) dojde ke smyku.
Nápověda 4 b)– třecí síla z hlediska neinerciálního systému
Rozmyslete si, jaké síly působí na auto v zatáčce vzhledem k neinerciálnímu systému spojenému s autem. Co platí pro výslednici sil v tomto systému?
Řešení nápovědy 4b) – třecí síla z hlediska neinerciálního systému
Auto je vzhledem k tomuto neinerciálnímu systému v klidu, výslednice sil, které na auto působí, musí být tedy nulová.

Na auto působí stejné síly jako v inerciálním systému, tedy ve svislém směru tíhová síla a tlaková síla silnice, jejichž výslednice je nulová, a třecí síla F_t. Kromě nich působí ještě setrvačná odstředivá síla F_od.

Má-li být výslednice sil nulová, musí platit:
\[F_\mathrm{t} = F_\mathrm{od} \,=\,m\frac{v_1^{2}}{R}.\]
Číselně:
\[F_\mathrm{t}\,=\,2000\,\cdot\,\frac{20^{2}}{100}\,\mathrm{N}\,=\,8000\,\mathrm{N}.\]
Nápověda 5b) – smyk z hlediska neinerciálního systému
Velikost maximální klidové třecí síly znáte z Nápovědy 3a). Jaká bude hraniční podmínka pro to, aby se auto ještě v zatáčce udrželo a nedostalo smyk? Při jak velké rychlosti to nastane?
Řešení nápovědy 5b) – smyk z hlediska neinerciálního systému
Maximální hodnota klidové třecí síly je rovna:
\[F_\mathrm{tmax} = fF_N=fmg,\]
kde F_N je velikost tlakové síly kolmé k silnici a g je tíhové zrychlení.

Jestliže bude rychlost auta taková, že setrvačná odstředivá síla přesáhne hodnotu maximální klidové třecí síly, dojde ke smyku.

Kritická podmínka je tedy:
\[F_\mathrm{tmax} = fmg = m\frac{v_\mathrm{max}^{2}}{R}.\]
Odtud:
\[v_\mathrm{max}^{2} = fgR,\] \[v_\mathrm{max} = \sqrt{Rgf}.\]
Číselně:
\[v_\mathrm{max} \,=\,\sqrt{100\,\cdot\,9{,}81\,\cdot\,0{,}35}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,\dot{=}\,18{,}5\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}.\]
Pro rychlost \(v_2\,>\,\sqrt{Rgf}\,\dot{=}\,18{,}5\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\) dojde ke smyku.
Celkové řešení
Tuto úlohu lze řešit z hlediska inerciálního nebo neinerciálního vztažného systému.

1. Z hlediska inerciálního vztažného systému
a) Třecí síla v zatáčce
Na auto v zatáčce z pohledu inerciálního systému spojeného se silnicí působí svisle dolů tíhová síla a v opačném směru do něj tlačí vozovka. Síly jsou stejně velké a jejich výslednice je nula. Na auto dále působí třecí síla F_t (klidová – auto se nesmýká), díky níž auto zatočí. Třecí síla uděluje autu příslušné dostředivé zrychlení a je pro něj současně silou dostředivou.

Velikost dostředivé síly je rovna:
\[F_{\mathrm{do}} = F_\mathrm{t}\,=\,m\frac{v_1^{2}}{R}.\]
Číselně:
\[F_\mathrm{t}\,=\,2000\,\cdot\,\frac{20^{2}}{100}\,\mathrm{N}\,=\,8000\,\mathrm{N}.\]
Aby se auto udrželo při dané rychlosti v zatáčce a nezačalo se pohybovat jinak než po kružnici, musí být třecí síla rovna 8000 N.
b) Smyk v zatáčce
Ke zjištění rychlosti, při které dojde ke smyku, potřebujeme zjistit maximální hodnotu klidové třecí síly. Platí pro ni:
\[F_\mathrm{tmax} = fF_N=fmg,\]
kde F_N je velikost tlakové síly kolmé k silnici a g je tíhové zrychlení.

Jestliže bude rychlost auta taková, že dostředivá síla potřebná k zatočení auta přesáhne hodnotu maximální klidové třecí síly, dojde ke smyku.

Kritická podmínka je tedy:
\[F_\mathrm{tmax} = fmg = m\frac{v_\mathrm{max}^{2}}{R}.\]
Odtud:
\[v_\mathrm{max}^{2} = fgR,\] \[v_\mathrm{max} = \sqrt{Rgf}.\]
Číselně:
\[v_\mathrm{max} \,=\,\sqrt{100\,\cdot\,9{,}81\,\cdot\,0{,}35}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,\dot{=}\,18{,}5\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}.\]
Pro rychlost \(v_2\,>\,\sqrt{Rgf}\,\dot{=}\,18{,}5\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\) dojde ke smyku.

2.Z hlediska neinerciálního vztažného systému
a) Třecí síla v zatáčce
Auto je vzhledem k neinerciálnímu systému spojenému s autem v klidu, výslednice sil, které na auto působí, musí být tedy nulová.

Na auto působí stejné síly jako v inerciálním systému, tedy ve svislém směru tíhová síla a tlaková síla silnice, jejichž výslednice je nulová, a třecí síla F_t. Kromě nich působí ještě setrvačná odstředivá síla F_od.

Má-li být výslednice sil nulová, musí platit:
\[F_\mathrm{t} = F_\mathrm{od} \,=\,m\frac{v_1^{2}}{R}.\]
Číselně:
\[F_\mathrm{t}\,=\,2000\,\cdot\,\frac{20^{2}}{100}\,\mathrm{N}\,=\,8000\,\mathrm{N}.\] b) Smyk v zatáčce
Maximální hodnota klidové třecí síly je rovna:
\[F_\mathrm{tmax} = fF_\mathrm{N}=fmg,\]
kde F_N je velikost tlakové síly kolmé k silnici a g je tíhové zrychlení.

Jestliže bude rychlost auta taková, že setrvačná odstředivá síla přesáhne hodnotu maximální klidové třecí síly, dojde ke smyku.

Kritická podmínka je tedy:
\[F_\mathrm{tmax} = fmg = m\frac{v_\mathrm{max}^{2}}{R}.\]
Odtud:
\[v_\mathrm{max}^{2} = fgR,\] \[v_\mathrm{max} = \sqrt{Rgf}.\]
Číselně:
\[v_\mathrm{max} \,=\,\sqrt{100\,\cdot\,9{,}81\,\cdot\,0{,}35}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,\dot{=}\,18{,}5\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}.\]
Pro rychlost \(v_2\,>\,\sqrt{Rgf}\,\dot{=}\,18{,}5\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\) dojde ke smyku.
Odpověď
Třecí síla mezi pneumatikami a silnicí je při dané rychlosti dodávky rovna 8000 N.

Aby dodávka dostala smyk, musela by jet rychlostí větší než 18,5 m·s⁻¹.