Sbírka řešených úloh

Propojení dvou kondenzátorů

Úloha číslo: 273

• Nápověda: Náboj a energie kondenzátoru

  Náboj na kondenzátoru je přímo úměrný kapacitě kondenzátoru a napětí na kondenzátoru.

  Energie kondenzátoru závisí na jeho kapacitě a druhé mocnině napětí.

• Nápověda: Připojení druhého kondenzátoru

  Po připojení druhého kondenzátoru se původní náboj rozdělí na oba kondenzátory tak, aby na obou kondenzátorech bylo stejné napětí.

• Nápověda: Energie

  Celkovou energii soustavy získáme sečtením energií jednotlivých kondenzátorů.

• Rozbor

  Před připojením druhého kondenzátoru je na prvním kondenzátoru náboj, který je přímo úměrný kapacitě kondenzátoru a napětí, na které byl kondenzátor nabit.

  Po připojení druhého kondenzátoru se část tohoto náboje začne přesouvat na druhý kondenzátor. Náboj se bude přesouvat až do doby, kdy napětí na obou kondenzátorech budou stejná. Toto napětí můžeme vyjádřit z toho, že původní náboj na prvním kondenzátoru je roven součtu nábojů, které jsou na kondenzátorech nyní. Náboje jsou opět přímo úměrné kapacitě a napětí na kondenzátorech.

  Celkovou energii soustavy získáme tak, že sečteme energie obou kondenzátorů. Energie kondenzátoru je přímo úměrná kapacitě kondenzátoru a druhé mocnině napětí na kondenzátoru.

  Pokud od počáteční energie prvního kondenzátoru odečteme celkovou energii, kterou má soustava nyní, získáme hledaný úbytek energie.

• Řešení: Náboj a napětí

  Kondenzátor o kapacitě C₁ je nabit na napětí U₀. Na deskách tohoto kondenzátoru je tedy náboj:

  \[Q\,=\, C_1 U_0\,.\tag{*}\]

  Po připojení druhého kondenzátoru se náboj začne přesouvat na druhý kondenzátor, dokud nebude na obou kondenzátorech stejné napětí U. Náboj, který byl původně na prvním kondenzátoru, se tedy nyní rozdělí na oba dva kondenzátory:

  \[Q\,=\,Q_1+Q_2 \,.\]

  Náboje na kondenzátorech si můžeme vyjádřit pomocí kapacity a napětí. Na prvním kondenzátoru je náboj Q₁ = C₁U a na druhém Q₂ = C₂U. Za Q dosadíme ze vzorce (*):

  \[C_1U_0\,=\,C_1U +C_2U.\]

  Postupně vyjádříme hledané napětí. Nejdříve vytkneme U:

  \[C_1U_0\,=\,U \left(C_1 +C_2 \right).\]

  Levou stranu vydělíme součtem kapacit a máme vyjádřené konečné napětí na kondenzátorech:

  \[U\,=\,U_0\,\frac{C_1}{C_1 +C_2 }.\tag{**}\]

• Řešení: Energie soustavy

  Celkovou energii soustavy získáme, sečteme-li energie obou kondenzátorů:

  \[E\,=\,E_1+E_2.\]

  Energii obou kondenzátorů vyjádříme z obecného vztahu \(E\,=\,\frac{1}{2}CU^2\) (na obou kondenzátorech je stejné napětí U):

  \[E\,=\,\frac{1}{2}C_1U^2+\frac{1}{2}C_2U^2,\] \[E\,=\,\frac{1}{2} \left(C_1+C_2\right)U^2.\]

  Za napětí U dosadíme ze vzorce (**), který jsme si vyjádřili v předchozím oddíle:

  \[E\,=\,\frac{1}{2} \left(C_1+C_2\right)\frac{C_1^2U_0^2 }{\left(C_1+C_2\right)^2}.\]

  Zkrátíme závorky a máme vyjádřenou celkovou energii soustavy:

  \[E\,=\,\frac{C_1^2U_0^2 }{2\left(C_1+C_2\right)}.\tag{***}\]

• Řešení: Úbytek energie

  Nyní si spočítáme, o kolik se energie změnila, když jsme připojili druhý kondenzátor:

  \[\Delta E\,=\, E_0-E\,,\]

  kde E₀ je počáteční energie prvního kondenzátoru před připojením druhého a E je celková energie soustavy po připojení druhého kondenzátoru.

  Energie E₀ je přímo úměrná kapacitě kondenzátoru a druhé mocnině napětí, na které byl nabit:

  \[E_0\,=\,\frac{1}{2}C_1U_0^2.\]

  Energii E jsme si vyjádřili v předchozím oddíle (viz vzorec (***)):

  \[E\,=\,\frac{C_1^2U_0^2 }{2\left(C_1+C_2\right)}.\]

  Oba vztahy pro energii odečteme:

  \[\Delta E\,=\, \frac{1}{2}C_1U_0^2- \frac{C_1^2U_0^2 }{2\left(C_1+C_2\right)}.\]

  Nyní už jen vzorec zjednodušíme. Vytkneme \[\frac{1}{2}C_1U_0^2\] a upravíme výraz v závorce:

  \[\Delta E\,=\, \frac{1}{2}C_1U_0^2 \left(1- \frac{C_1}{C_1+C_2}\right)\,=\, \frac{1}{2}C_1U_0^2 \frac{C_1+C_2-C_1}{C_1+C_2},\] \[\Delta E\,=\, \frac{1}{2}C_1U_0^2 \frac{C_2}{C_1+C_2}.\] Rozdíl energie je tedy roven \[\Delta E\,=\, \frac{C_1C_2}{2\left(C_1+C_2\right)}U_0^2\,.\]

• Zápis a číselný výpočet

  \[ \begin{eqnarray} C_1\,& =& \,20\,\mu\mathrm{F}\,=\,2 {\cdot} 10^{-5}\,\mathrm{F}\\ U_0 \,& =& \, 1\,000\,\mathrm{V}\\ C_2\,& =& \,5\,\mu\mathrm{F}\,=\,5 {\cdot} 10^{-6}\,\mathrm{F}\\ Q \,& =& \,?\,\left(\mathrm{C}\right)\\ U \,& =& \,?\,\left(\mathrm{V}\right)\\ E \,& =& \,?\,\left(\mathrm{J}\right)\\ \Delta E \,& =& \,?\,\left(\mathrm{J}\right) \end{eqnarray}\]

  ---

  \[Q\,=\,C_1U_0\,=\,2 {\cdot} 10^{-5}\cdot 1\,000\,\mathrm{C}\,=\,2{\cdot} 10^{-2}\,\mathrm{C}\,=\,20 \,\mathrm{mC}\] \[U\,=\,U_0 \frac{C_1}{C_1+C_2}\,=\,1\,000 \cdot\, \frac{2 {\cdot} 10^{-5}}{2 {\cdot} 10^{-5}\,+\,5 {\cdot} 10^{-6}}\,\mathrm{V}\,=\,800\,\mathrm{V}\] \[E\,=\,\frac{C_1^2U_0^2}{2\left(C_1+C_2\right)}\,=\,\frac{\left(2 {\cdot} 10^{-5}\right)^2 \cdot \,1000^2}{2\,\left(2 {\cdot} 10^{-5}\,+\,5 {\cdot} 10^{-6}\right)}\,\mathrm{J}\,=\,8\,\mathrm{J}\,\] \[\Delta E\,=\, \frac{C_1C_2}{2\left(C_1+C_2\right)}\,U_0^2\,\,=\,\frac{2 {\cdot} 10^{-5}\,\cdot 5 {\cdot} 10^{-6} }{2\,\left(2 \,\cdot 10^{-5}\,+\,5 {\cdot} 10^{-6}\right)}\,\cdot \,1000^2 \, \mathrm{J}\,=\,2\,\mathrm{J}\]

• Odpověď

  Na kondenzátoru je před připojením druhého kondenzátoru náboj

  \[Q\,=\,C_1U_0\,=\,20\,\mathrm{mC}\,.\]

  Po připojení druhého kondenzátoru je napětí na obou kondenzátorech stejné:

  \[U\,=\,U_0 \frac{C_1}{C_1+C_2}\,=\,800\,\mathrm{V}\,.\]

  Soustava má energii

  \[U\,=\,U_0\, \frac{C_1^2U_0^2}{2\left(C_1+C_2\right)}\,=\,8\,\mathrm{J}\,.\]

  Úbytek energie je roven

  \[\Delta E\,=\, \frac{C_1C_2}{2\left(C_1+C_2\right)}\,U_0^2\,=\,2\,\mathrm{J}\,.\]