Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
 
Úloha řešená úvahou
Úloha řešená úvahou
Úloha řešená úvahou
Úloha řešená úvahou
Úloha řešená úvahou
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Multimediální encyklopedie fyziky
 
Zaslat komentář k úloze
 

Letící elektron v homogenním poli

Úloha číslo 31

Elektron vlétl do homogenního pole proti směru siločar rychlostí 10 km s−1. Intenzita elektrického pole je 20 V m−1. Vypočtěte rychlost elektronu poté, co v elektrickém poli urazí dráhu 9 cm.

Poznámka: Tento příklad je vyřešen dvěma způsoby:

I. zkoumáním pohybu elektronu

II. pomocí zákona zachování energie

  • I. Nápověda 1

    Jak velká síla na elektron působí a jaký má směr?

    Rozmyslete si, o jaký pohyb se jedná.

  • Obrázek
    Letící elektron v homogenním poli
  • I. Nápověda 2

    Zrychlení elektronu můžeme spočítat z 2. Newtonova zákona.

  • I. Rozbor

    Na pohybující se elektron bude působit elektrická síla úměrná intenzitě homogenního pole. Protože elektron má záporný náboj, bude mít síla opačný směr než vektor elektrické intenzity. To znamená, že síla bude působit ve směru pohybu elektronu a elektron bude touto silou urychlován.

    K výpočtu rychlosti elektronu použijeme vztah pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu, kde nesmíme zapomenout na počáteční rychlost elektronu. Zrychlení vyjádříme pomocí 2. Newtonova zákona a dobu pohybu si spočítáme pomocí vztahu pro rychlost rovnoměrně zrychleného pohybu.

  • I. Řešení: Pohyb elektronu

    Na elektron bude působit elektrická síla o velikosti

    \[F_e\,=\,eE\,.\tag{1}\]

    Protože náboj elektronu je záporný, bude mít síla opačný směr než elektrická intenzita \(\vec{E}\). Síla tedy bude mířit ve směru pohybu a elektron bude rovnoměrně zrychlovat. Pomocí 2. Newtonova zákona vyjádříme zrychlení a:

    \[a\,=\,\frac{F_e}{m}\]

    Za elektrickou sílu můžeme dosadit ze vzorce 1

    \[a\,=\,\frac{eE}{m}\,.\tag{2}\]

    Elektron se pohybuje rovnoměrně zrychleně, pro jeho rychlost platí vztah

    \[v\,=\,at+v_0\]

    v0 jsme si označili počáteční rychlost elektronu.

    Z této rovnice si vyjádříme neznámý čas t.

    \[t\,=\,\frac{v-v_0}{a}\tag{3}\]

    Pro dráhu rovnoměrně rychleného pohybu platí vztah.

    \[s\,=\,\frac{1}{2}at^2+v_0t\]

    Nyní můžeme dosadit za čas t ze vzorce 3:

    \[s\,=\,\frac{1}{2}a\left( \frac{v-v_0}{a}\right)^2+v_0\frac{v-v_0}{a}\]

    Vztah budeme upravovat tak, abychom vyjádřili hledanou rychlost v.

    \[s\,=\,\frac{1}{2} \frac{\left( v-v_0\right)^2}{a}+\frac{v_0\left(v-v_0\right)}{a} \hspace{20px}|\,\cdot 2a\] \[2sa\,=\,\left( v-v_0\right)^2 + 2v_0\left( v-v_0\right)\]

    Roznásobíme a zjistíme, že se nám některé členy odečtou.

    \[2sa\,=\,v^2 - 2v_0v + v_0^2 + 2v_0v - 2v_0^2\] \[2sa\,=\,v^2 - v_0^2\hspace{20px}|\, +v_0^2\] \[ v^2\,=\,2sa+v_0^2\] \[v\,=\, \sqrt {2sa+v_0^2}\]

    Do tohoto vzorce dosadíme za zrychlení a vztah 2 a získáme hledanou konečnou rychlost elektronu.

    \[v\,=\,\sqrt {\frac{2seE}{m}+v_0^2}\]
  • II. Nápověda

    Zauvažujte na tím, jak a proč se při pohybu v homogenním poli mění energie elektronu.

  • II. Rozbor

    K výpočtu rychlosti využijeme zákon zachování energie.

    Na letící elektron působí ve směru pohybu elektrická síla, která koná práci a tím zvětšuje kinetickou energii elektronu.

    Poznámka: Práce vykonaná elektrickou silou odpovídá změně elektrické potenciální energie.

  • II. Řešení: Energie elektronu

    Pro letící elektron platí zákon zachování energie.

    \[E_{k2}\,=\,E_{k1}+W_e\tag{*}\]

    Kinetické energie elektronu zjistíme ze vztahů

    \(E_{k1}\,=\,\frac{1}{2}m v_0^2\,,\hspace{40px} E_{k2}\,=\,\frac{1}{2}m v^2\,,\)

    kde v0 je počáteční rychlost elektronu.

    We je práce, kterou musela vykonat elektrická síla, aby elektron urychlila. Protože je elektrická síla konstantní, můžeme ji vypočítat ze vztahu:

    \[W_e\,=\,F_e s\]

    Elektrická síla je přímo úměrná náboji elektronu e a intenzitě pole E: \(F_e\,=\,eE\), tím dostáváme pro elektrickou práci vztah:

    \[W_e\,=\,e E s\]

    Vztahy pro jednotlivé členy dosadíme do zákona zachování energie * a vyjádříme neznámou rychlost v.

    \[\frac{1}{2}m v^2\,=\,\frac{1}{2}m v_0^2 + e E s \hspace{20px}| \,\cdot \frac{2}{m}\] \[v^2\,=\,v_0^2 + \frac{2seE}{m}\] \[v\,=\,\sqrt {\frac{2seE}{m}+v_0^2}\]
  • Zápis a číselný výpočet
    \[ \begin{eqnarray} v_0\,&=&\,10\,\mathrm{km\,s}=10^4\,\mathrm{m\,s^{-1}}\\ E\,&=&\,20\,\mathrm{V\,m^{-1}}\\ s\,&=&\,9\,\mathrm{cm}\,=\,9{\cdot} 10^{-2}\,\mathrm{m}\\ v\,&=&\,?\,\left(\mathrm{m\,s^{-1}}\right)\end{eqnarray}\]

    Z tabulek:

    \[e\,=\,1{,}6 {\cdot} 10^{-19}\,\mathrm{C}\] \[m\,=\,9{,}1 {\cdot} 10^{-31}\,\mathrm{kg}\]
    \[ \begin{eqnarray}v\,&=&\,\sqrt {\frac{2seE}{m}+v_0^2}\\ v\,&=&\,\sqrt {\frac{2\,\cdot\, 9{\cdot} 10^{-2} \,\cdot\, 1{,}6 {\cdot} 10^{-19}\,\cdot\, 20}{9{,}1 {\cdot} 10^{-31}}\,+\,\left(10^4\right)^2}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\\ v \,&\dot=&\, 800\,\mathrm{km\,s^{-1}} \end{eqnarray}\]

    Všimněte si, že i když není elektrické pole moc silné, získá elektron i na malé dráze velkou rychlost. Je to způsobeno tím, že elektron je velmi lehký, a proto k jeho urychlení stačí malé množství energie.

  • Odpověď

    Po uražení dráhy 9 cm bude mít elektron rychlost \(v\,=\,\sqrt {\frac{2seE}{m}+v_0^2}\,\,\dot=\,\,800\,\mathrm{km\,s^{-1}}\).

  • Co by se změnilo, kdyby....

    Co by se změnilo, pokud by elektron vletěl do stejného homogenního pole ve směru siločar?

    Letící elektron v homogenním poli

    V takovém případě by elektrická síla měla opačný směr než rychlost. Elektron by se pohyboval rovnoměrně zpomaleným pohybem.

http://fyzikalniulohy.cz/
Aktualizováno: 28. 7. 2013
V případě problémů se obraťte na správce sbírky.