Bublina v jezeře
Úloha číslo: 331
Vzduchová bublina o poloměru 5,0 mm stoupá ode dna jezera hlubokého 20,7 m. Teplota u dna jezera je 7 °C a u hladiny 27 °C. Atmosférický tlak je 100 kPa. Jak velká bude bublina, až dospěje ke hladině?
Nápověda
Když bublina stoupá ode dna jezera, nemění se pouze její teplota, ale také tlak plynu uvnitř bubliny. Tento tlak odpovídá tlaku vody v jejím okolí.
Určete tlak vody v okolí bubliny, když je u dna a když je u hladiny.
Zápis
h = 20,7 m hloubka jezera r1 = 5,0 mm = 5,0·10-3 m poloměr bubliny u dna t1 = 7 °C ⇒ T1 = 280 K teplota vody u dna jezera t2 = 27 °C ⇒ T2 = 300 K teplota vody u hladiny jezera pa = 100 kPa = 1,00·105 Pa atmosférický tlak r2 = ? poloměr bubliny u hladiny jezera Z tabulek:
ρ = 1000 kg m-3 hustota vody g = 9,81 m s-2 tíhové zrychlení Rozbor
Při výpočtu poloměru bubliny využijeme toho, že tlak plynu uvnitř bubliny musí být stejný jako tlak vody v jejím okolí. V opačném případě by tlakové síly okolní vody a plyn uvnitř bubliny na rozhraní voda–vzduch byly odlišné a bublina by se buď zvětšovala, nebo zmenšovala.
Tlak vody v okolí bubliny je dán hydrostatickým tlakem (přímo úměrným hloubce, ve které se bublina nachází) a atmosférickým tlakem, který díky Pascalovu zákonu přispívá k celkovému tlaku ve všech místech jezera stejně. Tlak plynu uvnitř bubliny můžeme určit pomocí stavové rovnice.
Poznámka: V bublině je vzduch a sytá vodní pára. Z tabulek zjistíme, že tlak sytých vodních par pro uvedené teploty dosahuje hodnot několika kPa. Vůči atmosférickému tlaku tedy příspěvek sytých vodních par k tlaku v bublině zanedbáme.
Řešení
Nejprve si vyjádříme tlak vody u dna jezera p1, ke kterému přispívá atmosférický a hydrostatický tlak
\[ p_1\,=\,p_\mathrm{a}\,+\,h\rho g \]a uvědomíme si, že tlak u hladiny jezera p2 je roven atmosférickému tlaku:
\[ p_2\,=\,p_\mathrm{a}\,. \]Budeme předpokládat, že plyn uvnitř bubliny se chová jako ideální plyn, a že tedy splňuje stavovou rovnici ideálního plynu, tj. že platí
\[ \frac{p_1V_1}{T_1}\,=\,\frac{p_2V_2}{T_2}\,. \]Tlak vzduchu bude stejný jako tlak okolní vody a objem bubliny určíme pomocí vzorce pro objem koule \(V\,=\,\frac{4}{3}\pi r^3\). Vše dosadíme do stavové rovnice:
\[ \frac{\left(p_\mathrm{a}+h\rho g\right)\frac{4}{3}\pi r_1^3}{T_1}\,=\,\frac{p_a\frac{4}{3}\pi r_2^3}{T_2}, \] \[ \frac{\left(p_\mathrm{a}+h\rho g\right)r_1^3}{T_1}\,=\,\frac{p_\mathrm{a}r_2^3}{T_2} \]a vyjádříme neznámý poloměr r2:
\[ r_2^3\,=\,\frac{\left(p_\mathrm{a}+h\rho g\right)r_1^3T_2}{p_\mathrm{a}T_1}, \] \[ r_2\,=\,\sqrt[3]{\frac{\left(p_\mathrm{a}+h\rho g\right)r_1^3T_2}{p_\mathrm{a}T_1}}\,. \]Dosadíme zadané číselné hodnoty:
\[ r_2\,=\,5\cdot{10^{-3}}\cdot \sqrt[3]{\frac{\left(10^5\,+\,{20{,}7}\cdot 1000\cdot{9{,}81}\right)\cdot 300}{10^5\cdot{280}}}\,\mathrm{m} \] \[ r_2\,\dot{=}\,7{,}4\cdot{10^{-3}}\,\mathrm{m}\,=\,7{,}4\,\mathrm{mm}\,. \]Pozn.: Z obecného vztahu je vidět, že by bylo možné poloměr bubliny u dna r1 dosadit v milimetrech a i výsledná hodnota by vyšla v milimetrech.
Odpověď
U hladiny jezera bude mít bublina poloměr asi 7,4 mm.
Komentář o dalších příspěvcích k tlaku uvnitř bubliny
Na tlak vzduchu uvnitř bubliny má vliv také povrchové napětí vody. Zakřivený povrch kapaliny vyvolává kapilární tlak o velikosti:
\[ p_\mathrm{k}\,=\,\frac{2\sigma}{r}\,\mathrm{,} \]kde r je poloměr zakřivení povrchu kapaliny a σ povrchové napětí této kapaliny. Pro vodu platí σ = 73 mN m-1 = 0,073 N m-1.
Určíme hodnotu kapilárního tlaku pro oba poloměry bubliny:
\[ p_\mathrm{k1}\,=\,\frac{2\cdot{0{,}073}}{5\cdot{ 10^{-3}}}\,\mathrm{Pa}\,\dot{=}\,29\,\mathrm{Pa} \] \[ p_\mathrm{k2}\,=\,\frac{2\cdot{0{,}073}}{7{,}4\cdot{ 10^{-3}}}\,\mathrm{Pa}\,\dot{=}\,20\,\mathrm{Pa}\,. \]Vidíme, že hodnota kapilárního tlaku pk je v porovnání s atmosférickým tlakem pa zanedbatelná.
Dále kromě vzduchu bude uvnitř bubliny také sytá vodní pára. Tlak syté vodní páry pro obě teploty můžeme vyhledat v tabulkách:
pro t1 = 7 °C je ps = 1,02 kPa
pro t1 = 27 °C je ps = 3,60 kPa
Také tento příspěvek je v porovnání s velikostí atmosférického tlaku zanedbatelný.
