Namražování mrazničky
Úloha číslo: 354
Předpokládejme, že při každém otevření se mraznička o vnitřním objemu 210 l zcela naplní vzduchem z místnosti o teplotě 25 °C a relativní vlhkosti 80 %. Kolik ledu se v ní vytvoří po jednom otevření, jestliže dojde k vychlazení vzduchu na teplotu −20 °C? Porovnejte s chladničkou s vnitřní teplotou 5 °C. Pokuste se pro oba případy odhadnout množství uvolněného tepla.
Nápověda – absolutní a relativní vlhkost vzduchu
Při určité teplotě se ve vzduchu „udrží“ (aniž by docházelo ke kondenzaci) určité množství vody. Toto maximální množství označujeme jako sytou vodní páru a v tabulkách můžeme pro zadanou teplotu vyhledat její hustotu. Obvykle je ale ve vzduchu vodní páry méně. Její množství můžeme specifikovat pomocí hustoty vodní páry v daný okamžik (tzv. absolutní vlhkost vzduchu) nebo tím, že řekneme, jaká část vodní páry (obvykle v procentech) z maximálního možného množství pro danou teplotu je momentálně ve vzduchu obsažena (tzv. relativní vlhkost vzduchu). S klesající teplotou klesá i hustota syté páry, to znamená, že při nižší teplotě se ve vzduchu „udrží méně vlhkosti“.
Nápověda – jak řešit úlohu
Při otevření mrazničky se dovnitř dostane teplý vlhký vzduch z místnosti. Při jeho ochlazení část vodní páry zkondenzuje a následně zmrzne.
K určení množství vodní páry ve vzduchu při dané teplotě použijte hustotu sytých par, kterou naleznete v tabulkách.
Zápis
V = 210 l = 0,210 m3 vnitřní objem mrazničky t1 = 25 °C teplota vzduchu v místnosti φ = 80 % relativní vlhkost vzduchu v místnosti t2 = −20 °C teplota v mrazničce t3 = 5 °C teplota v chladničce mL = ? hmotnost vytvořeného ledu v mrazničce mCh = ? hmotnost vytvořeného ledu v chladničce QL = ? uvolněné teplo v mrazničce QCh = ? uvolněné teplo v chladničce Další potřebné hodnoty:
ρ1 = 23 g/m3 = 2,3×10−2 kg/m3 hustota sytých vodních par při teplotě 25 °C ρ2 = 0,88 g/m3 = 8,8×10−4 kg/m3 hustota sytých vodních par při teplotě −20 °C ρ3 = 6,8 g/m3 = 6,8×10−3 kg/m3 hustota sytých vodních par při teplotě 5 °C tt = 0 °C teplota tání ledu cL = 2,1 kJkg−1K−1 = 2100 Jkg−1K−1 měrná tepelná kapacita ledu lt = 334 kJkg−1 = 3,34×105 Jkg−1 měrné skupenské teplo tání ledu cV = 4,18 kJkg−1K−1 = 4180 Jkg−1K−1 měrná tepelná kapacita vody lv = 2260 kJkg−1 = 2,26×106 Jkg−1 měrné skupenské teplo varu vody Rozbor
Při určité teplotě se ve vzduchu „udrží“ (aniž by docházelo ke kondenzaci) určité množství vody. Toto maximální množství označujeme jako sytou vodní páru a v tabulkách můžeme pro zadanou teplotu vyhledat její hustotu. Obvykle je ale ve vzduchu vodní páry méně. Její množství můžeme specifikovat pomocí hustoty vodní páry v daný okamžik (tzv. absolutní vlhkost vzduchu) nebo tím, že řekneme, jaká část vodní páry (obvykle v procentech) z maximálního možného množství pro danou teplotu je momentálně ve vzduchu obsažena (tzv. relativní vlhkost vzduchu). S klesající teplotou klesá i hustota syté páry, to znamená, že při nižší teplotě se ve vzduchu „udrží méně vlhkosti“.
K teplotě vzduchu v místnosti si vyhledáme hustotu syté vodní páry a ze zadané relativní vlhkosti určíme hustotu vodních par v místnosti. Podobně si vyhledáme hustotu syté vodní páry pro teplotu v mrazničce. Určíme hmotnost vodní páry, kterou uzavřeme v mrazničce, a hmotnost vodní páry, která může zůstat obsažena v chladném vzduchu mrazničky. Zbývající vodní pára nejprve zkondenzuje, ochladí se, zmrzne a dále se ochladí.
Řešení
Nejprve určíme hustotu ρm vodní páry v místnosti. Podle definice relativní vlhkosti platí:
\[\varphi _1 = \frac{ \varrho _\mathrm{m}}{\varrho _1} \Rightarrow \] \[\Rightarrow \varrho _\mathrm{m} = \varphi_1 \varrho_1 = 0{,}8 \cdot{2{,}3} \cdot{10^{-2}} \,\mathrm {kg·m}^{-3}=\] \[\,\ \,\ = 1{,}84 \cdot{10^{-2}} \,\mathrm {kg·m}^{-3}.\]To znamená, že při otevření a vyvětrání lednice se do ní se vzduchem dostane \(m_1 = \varrho_\mathrm{m} V\) vodní páry.
Sytá vodní pára uvnitř mrazničky znamená, že uvnitř může zůstat \(m_2 = \varrho_2 V\) vodní páry. Přebytečná vodní pára zkondenzuje a zmrzne, tj. množství ledu, které po jednom otevření a vyvětrání mrazničky uvnitř vznikne, je dáno rozdílem těchto dvou hmotností:
\[m_\mathrm{L} = m_1 - m_2 = \varrho_\mathrm{m} V - \varrho_2 V = (\varphi_1 \varrho_1 - \varrho_2)V,\]\[m_\mathrm{L} = (0{,}8 \cdot{2{,}3}\cdot{10^{-2}} - 8{,}8 \cdot{10^{-4}})\cdot 0{,}21 \mathrm {kg} \dot= 3{,}7\cdot{10^{-3}} \,\mathrm {kg} =\] \[\,\ \ \,= 3{,}7 \,\mathrm g.\]Pro chladničku je třeba uvažovat jinou hustotu syté vodní páry \(\varrho_3\):
\[m_\mathrm{Ch}=(\varphi_1 \varrho_1 - \varrho_3)V,\]\[m_\mathrm{Ch}= (0{,}8 \cdot{2{,}3}\cdot{10^{-2}} - 6{,}8 \cdot{10^{-3}})\cdot 0{,}21 \,\mathrm {kg} \dot=\] \[\,\ \ \ \dot= 2{,}4\cdot{10^{-3}} \,\mathrm {kg} = 2{,}4 \,\mathrm g.\]Při odhadu uvolněného tepla budeme uvažovat, že v případě chladničky pára zkondenzuje, voda vychladne, zmrzne a led se ještě ochladí na teplotu uvnitř mrazničky. Protože neznáme měrné skupenské teplo kondenzace při teplotě místnosti, použijeme měrné skupenské teplo varu vody. Ve skutečnosti bude uvolněné teplo větší:
\[Q_\mathrm{L} = l_\mathrm{v} m_\mathrm{L} + c_\mathrm{V} m_\mathrm{Ch} (t_1 - t_t) + l_\mathrm{t} m_\mathrm{L} + c_\mathrm{L}m_\mathrm{L} (t_\mathrm{t}-t_2)=\] \[=\ \,\ \, [l_\mathrm{v} + c_\mathrm{V}(t_1-t_\mathrm{t}) + l_\mathrm{t} + c_\mathrm{L}(t_\mathrm{t}-t_2)]m_\mathrm{L},\]
\[Q_\mathrm{L} = [ 2{,}26 \cdot{10^6} + 4180 \cdot{(25-0)} + 3{,}34\cdot{10^5} + 2100\cdot (0+20)] \cdot 3{,}7 \cdot{10^{-3}}\dot=\] \[\, \ \ \,\, \ \dot= 10000 \,\mathrm J= 10 \, \mathrm {kJ}. \]
V případě chladničky dojde jen ke kondenzaci vodní páry a ochlazení vody:
\[Q_\mathrm{Ch} = l_\mathrm{v} m_\mathrm{Ch} + c_\mathrm{V} m_\mathrm{Ch} (t_1 - t_3) = [l_\mathrm{v} + c_\mathrm{V}(t_1-t_3)]m_\mathrm{Ch},\]
\[Q_\mathrm{Ch} = [2{,}26 \cdot{10^6} + 4180 \cdot (25-5)]\cdot 2{,}4 \cdot{10^{-3}} \dot= 5600\,\mathrm J = 5{,}6 \,\mathrm {kJ}.\]
Odpověď
V mrazničce po jednom otevření vznikne 3,7 g a v chladničce 2,4 g ledu. Při tom se uvolní minimálně 10 kJ tepla v případě mrazničky a 5,6 kJ tepla v případě chladničky.
