Sbírka řešených úloh

Porovnání dvou závěsů

Úloha číslo: 370

Na obrázku je na ocelovém lanku zavěšeno závaží. Totéž závaží je zavěšeno na dvou lankách poloviční délky. Porovnejte relativní a absolutní podélné prodloužení lanka.

• Řešení úvahou

  Předpokládejme, že působící síla nevytvoří v žádném lanku napětí větší, než je modul pružnosti oceli, a že se tedy bude jednat o pružnou deformaci, pro kterou platí Hookův zákon.

  Relativní prodloužení lanka je přímo úměrné normálovému napětí, které je úměrné působící síle, protože lanka mají stejný obsah průřezu. V druhém případě, kdy těleso visí na dvou lankách, je působící síla poloviční než v prvním případě, proto i relativní prodloužení bude v druhém případě poloviční v porovnání s prvním případem.

  Absolutní prodloužení je dáno součinem relativního prodloužení a původní délky lanka. Protože relativní prodloužení i původní délka jsou v druhém případě poloviční než v prvním, bude absolutní prodloužení v druhém případě čtyřikrát menší než v případě prvním.

• Řešení výpočtem

  Použijeme Hookův zákon:

  \[\sigma = E \varepsilon,\]

  kde E je modul pružnosti oceli v tahu. Normálové napětí σ vyjádříme jako podíl velikosti působící síly F a obsahu průřezu lanka S:

  \[\sigma = \frac{F}{S}.\]

  Relativní prodloužení ε je definováno jako podíl absolutního prodloužení Δl a původní délky lanka l:

  \[\varepsilon = \frac{\Delta l}{l} \,.\]

  Po dosazení těchto vztahů do Hookova zákona a můžeme vyjádřit vztah pro relativní prodloužení ε:

  \[\frac{F}{S}= E \varepsilon\, \Rightarrow \, \varepsilon = \frac{F}{SE} \]

  a následně i pro absolutní prodloužení Δl:

  Mezi délkami lanek v prvním a druhém případě platí vztah l₁ = 2l₂ a mezi velikostmi působících sil platí F₁ = 2F₂. Obsah průřezu S i modul pružnosti E je v obou případech stejný. Dosadíme tyto vztahy do výpočtu podílu prodloužení v obou případech.

  \[\frac{\varepsilon _1}{\varepsilon _2}=\frac{\frac{F_1}{SE}}{\frac{F_2}{SE}} = \frac{F_1}{F_2}=\frac{2F_2}{F_2}=\frac{2}{1} ,\] \[\frac{\Delta l _1}{\Delta l_2}=\frac{\frac{F_1 l_1}{SE}}{\frac{F_2 l_2}{SE}} = \frac{F_1 l_1}{F_2 l_2}=\frac{2F_2 2l_2}{F_2 l_2}=\frac{4}{1}. \]

• Odpověď

  Relativní prodloužení lanka je dvojnásobné a absolutní prodloužení čtyřnásobné v prvním případě než v případě druhém.