Sbírka řešených úloh

Hélium při izobarickém ději

Úloha číslo: 372

• Zápis

  n = 1 mol	látkové množství hélia
  T1 = 273 K	počáteční teplota hélia
  T2 = 373 K	koncová teplota hélia
  \(C_V=\frac{3}{2}R\)	molární tepelná kapacita hélia při stálém objemu
  W = ?	vykonaná práce
  Q = ?	přijaté teplo

  Z tabulek:

  R = 8,31 JK-1mol-1

  molární plynová konstanta

• Nápověda – přijaté teplo

  Použijte vztah mezi teplem a měrnou tepelnou kapacitou za stálého tlaku a uvědomte si, co v něm znáte a co musíte ještě vyjádřit.

• Vyjádření vztahu pro Q

  Mezi teplem Q a měrnou tepelnou kapacitou c_p za stálého tlaku platí vztah

  \[Q= c_p m \Delta T.\]

  Uvědomíme-li si, že hmotnost m můžeme vyjádřit vztahem

  \[m=nM_m,\]

  kde n je látkové množství látky a M_m jeho molární hmotnost, a že pro molární tepelnou kapacitu C_p platí

  \[C_p=c_pM_m,\]

  dostaneme

  \[Q=n C_p \Delta T.\]

• Nápověda 2 – přijaté teplo

  Protože zadanou máme molární tepelnou kapacitu za stálého objemu C_V, použijeme ještě tzv. Meyerův vztah, abychom určili molární tepelnou kapacitu za stálého tlaku C_p

  \[C_p=C_V+R.\]

• Rozbor – přijaté teplo

  Přijaté teplo lze vypočítat jako součin látkového množství, molární tepelné kapacity za stálého tlaku a změny teploty.

  Molární tepelnou kapacitu za stálého tlaku sice nemáme zadanou, můžeme ji ale určit z molární tepelné kapacity za stálého objemu pomocí tzv. Meyerova vztahu.

• Výpočet přijatého tepla

  Molární tepelnou kapacitu při stálém tlaku C_p, jíž budeme potřebovat při výpočtu přijatého tepla při izobarickém ději, spočteme pomocí Meyerova vztahu

  \[C_p = C_V + R = \frac{5}{2}R.\]

  Pro přijaté teplo Q pak bude v souladu s tím, jak je definována molární tepelná kapacita C_p, platit vztah

  \[Q = nC_p(T_2-T_1) = \frac{5}{2}nR(T_2 - T_1). \]

• Nápověda – vykonaná práce

  Vyjděte z 1. termodynamického zákona a zamyslete se, jak v něm vyjádřit změnu vnitřní energie hélia.

• Změna vnitřní energie

  Protože hélium považujeme za ideální plyn, platí pro změnu jeho vnitřní energie vztah

  \[\Delta U=c_V m \Delta T.\]

  Po použití podobných úprav jako v nápovědě k první části úlohy nakonec dostaneme

  \[\Delta U=nC_V \Delta T.\]

• Rozbor – vykonaná práce

  Práci vykonanou plynem lze vypočítat z 1. termodynamického zákona, který nám říká, že změna vnitřní energie je rovna rozdílu dodaného tepla a práce vykonané plynem.

  Změnu vnitřní energie vyjádříme jako součin látkového množství, molární tepelné kapacity za stálého objemu a změny teploty. Dodané teplo jsme již určili v první části úlohy.

• Výpočet vykonané práce

  K určení vykonané práce W použijeme 1. termodynamický zákon, podle něhož musí být nárůst vnitřní energie ΔU roven rozdílu dodaného tepla a vykonané práce. Platí tedy

  \[\Delta U = Q - W,\]

  odkud vyjádříme hledanou práci W

  \[W=Q - \Delta U.\]

  Změnu vnitřní energie však můžeme snadno spočítat podle vzorce

  \[\Delta U = nC_V(T_2 - T_1),\]

  protože hélium považujeme za ideální plyn. Po dosazení získáváme

  \[W = \frac{5}{2}nR(T_2 - T_1) - \frac{3}{2}nR(T_2-T_1).\]

  Výraz ještě upravíme

  \[W = nR(T_2 - T_1).\]

• Číselné dosazení

  \[Q =\frac{5}{2}nR(T_2 - T_1)= \frac{5}{2}\cdot 1\cdot{8{,}31}\cdot (373-273)\,\mathrm{J}\dot{=}2100 \,\mathrm{J}\] \[W = nR(T_2 - T_1)= 1\cdot{8{,}31}\cdot (373-273)\,\mathrm{J}\dot{=}830 \,\mathrm{J}\]

• Odpověď

  Plyn vykonal práci asi 830 J a přijal teplo přibližně 2100 J.