Válec s pístem
Úloha číslo: 399
Píst ve válci stroje se posunul o 10 cm, čímž se tlak ve válci pětkrát zvětšil. Celý děj probíhal adiabaticky. Určete počáteční objem plynu ve válci, je-li plocha pístu 30 cm2. Poissonova konstanta daného plynu je κ = 1,4.
Nápověda
Uvědomte si, jak se změní objem plynu při posunutí pístu.
Při řešení použijte Poissonův zákon pro adiabatický děj.
Rozbor
Vyjdeme ze vztahu mezi změnou objemu plynu a posunutí pístu. Do něj dosadíme vyjádření koncového objemu, které získáme z Poissonova zákona. Po upravení tohoto vztahu již dostaneme hledaný počáteční objem plynu.
Zápis
Δl = 10 cm = 0,1 m délka posunutí pístu p2 = 5p1 zvětšení tlaku plynu S = 30 cm2 = 3·10−3 m2 plocha pístu κ = 1,4 Poissonova konstanta plynu V1 = ? počáteční objem plynu ve válci Řešení
Posunutí pístu, při němž se zvětší tlak plynu, znamená zmenšení objemu plynu, a to o
\[\mathrm{\Delta} V=S\mathrm{\Delta} l,\]kde ΔV je rozdíl počátečního objemu V1 a konečného objemu V2, S je plocha pístu a Δl délka posunutí pístu.
Pro adiabatický děj platí Poissonův zákon, jenž můžeme zapsat pro počáteční a koncový stav plynu ve tvaru
\[p_1V_1^{\kappa}=p_2V_2^{\kappa}.\]Z tohoto vztahu vyjádříme objem V2
\[V_2^{\kappa}=\frac{p_1}{p_2}V_1^{\kappa},\] \[V_2=\sqrt[\kappa]{\frac{p_1V_1^{\kappa}}{p_2}} = V_1\sqrt[\kappa]{\frac{p_1}{p_2}}\]a získané vyjádření dosadíme do vztahu
\[V_1-V_2=S\mathrm{\Delta} l. \]Dostaneme
\[V_1-V_1\sqrt[\kappa]{\frac{p_1}{p_2}}=S\mathrm{\Delta} l.\]Odtud již vyjádříme hledaný objem V1
\[V_1=\frac{S\mathrm{\Delta} l}{\left(1-\sqrt[\kappa]{\frac{p_1}{p_2}}\right)} = \frac{S\mathrm{\Delta} l}{\left(1-\sqrt[\kappa]{\frac{1}{5}}\right)}.\]Číselné dosazení
\[V_1=\frac{S\mathrm{\Delta} l}{\left(1-\sqrt[\kappa]{\frac{1}{5}}\right)}= \frac{3\cdot{10^{-3}}\cdot 0{,}1}{\left(1-\sqrt[1{,}4]{\frac{1}{5}}\right)}\,\mathrm{m^3}\dot{=} 4{,}4\cdot{10^{-4}}\,\mathrm{m^3}=0{,}44\,\mathrm{l}\]Odpověď
Počáteční objem plynu byl asi 0,44 l.
