Chladící stroj

Úloha číslo: 429

Určete práci, kterou musíme dodat chladícímu stroji pracujícímu na principu obráceného Carnotova cyklu, jestliže v prostředí o teplotě 20 °C chceme zmrazit 1 kg vody téže teploty na led o teplotě 0 °C.

  • Nápověda 1 – celková práce

    Celková práce Wc, kterou musíme dodat chladícímu stroji, se skládá z práce W potřebné k ochlazení vody na teplotu tání a práce Wt nutné k přeměně vody na led.

  • Nápověda 2 – ochlazení látky

    Pro práci W potřebnou k ochlazení látky platí vztah

    \[W=\eta Q,\]

    kde η je účinnost stroje a Q odebírané teplo.

     

    Připomeňte si, jak spočítat teplo, tkeré je nutné odebrat vodě, a vzorec pro účinnost Carnotova stroje. Je účinnost v průběhu ochlazování látky účinnost stroje konstantní? Pokud ne, jaký to bude mít vliv na výpočet práce W?

  • Nápověda 3 – přeměna vody na led

    Při výpočtu práce Wt potřebné k přeměně vody na led vyjdeme ze stejného vzorce jako při výpočtu práce W:

    \[W_t=\eta Q.\]

     

    Jaký vztah platí pro teplo Q nyní? Mění se také v průběhu přeměny vody na led účinnost η stroje?

  • Zápis

    m = 1 kg hmotnost vody
    t1 = 0 °C => T1 = 273 K teplota ledu
    t2 = 20 °C => T2 = 293 K teplota prostředí
    Wc = ? práce dodaná chladícímu stroji

    Z tabulek:

    cv = 4180 J kg K−1 měrná tepelná kapacita vody
    lt = 334 kJ kg−1 = 334·103 J kg−1 měrné skupenské teplo tání vody
  • Rozbor

    Celková dodaná práce je dána součtem práce potřebné k ochlazení vody na teplotu tání a práce nutné k přeměně vody na led.

    Práce potřebná k ochlazení vody je definována jako součin účinnosti stroje a odebíraného tepla. Toto teplo si napíšeme jako součin hmotnosti vody, její měrné tepelné kapacity a změny její teploty. Účinnost závisí na teplotě vody a prostředí. Teplota vody se však v průběhu ochlazování mění. Účinnost tedy není konstantní, a při výpočtu práce potřebné k ochlazení vody musíme použít integrální počet.

    V případě přeměny vody na led je výpočet jednodušší. Pro práci nutnou k této přeměně sice také platí, že je rovna součinu účinnosti stroje a odebíraného tepla. Teplota vody se však v průběhu přeměny nemění, a účinnost je tedy konstantní. Teplo je zde definováno jako součin hmotnosti vody a jejího měrného skupenského tepla tání.

  • Řešení

    Celková práce Wc, kterou musíme dodat chladícímu stroji, je rovna součtu práce W potřebné k ochlazení vody na teplotu tání a práce Wt nutné k přeměně vody na led, tj.

    \[W_c=W+W_t.\]

    Práce W, jíž je nutno dodat k ochlazení látky, souvisí s odebíraným teplem Q vztahem

    \[W=\eta Q.\]

    Zde η je účinnost stroje

    \[\eta=\frac{T_p-T}{T},\]

    kde T je teplota látky a Tp teplota okolního prostředí.

    Okamžitě vidíme, že energetická náročnost chlazení roste s rozdílem uvedených teplot.

    Účinnost η je však funkcí okamžité teploty látky T, která se v průběhu chladícího procesu pochopitelně mění. Uvažujme tedy nejprve, jakou práci dW budeme muset dodat stroji k ochlazení vody teploty T o hodnotu dT. Bude platit:

    \[\text{d}W=\eta \,\text{d}Q=\frac{T_p-T}{T}mc_v\,\text{d}T\]

    kde dQ vyjadřuje elementární teplo odebrané látce.

    Celkovou dodanou práci při ochlazení vody na teplotu T1 pak určíme integrací uvedeného vztahu v příslušných mezích, jimiž je koncová T1 a počáteční T2 = Tp teplota vody:

    \[W=\int \text{d}W = \int\limits_{T_1}^{T_2}\frac{T_2-T}{T}mc_v\,\text{d}T =\]

    vytkneme konstanty před integrál

    \[ =mc_v \int\limits_{T_1}^{T_2}\frac{T_2-T}{T}\,\text{d}T=\]

    upravíme výraz v integrálu a dostaneme dva jednodušší integrály

    \[=-mc_v\int\limits_{T_1}^{T_2}\text{d}T + mc_vT_2\int\limits_{T_1}^{T_2}\frac{\text{d}T}{T}=\]

    vše zintegrujeme a dosadíme meze

    \[= -mc_v\left[T\right]_{T_1}^{T_2} + mc_vT_2\left[\ln{T}\right]_{T_1}^{T_2}=\] \[=-mc_v\left(T_2-T_1\right)+mc_vT_2\ln{\frac{T_2}{T_1}}=\]

    a po úpravě dostaneme

    \[=mc_v\left[T_1+T_2\left(\ln{\frac{T_2}{T_1}\,-1}\right)\right].\]

    Nyní musíme ještě vypočítat, kolik energie Wt zvnějšku je třeba dodat k tomu, aby se voda přeměnila na led. Tento výpočet je již podstatně jednodušší, neboť tuhnutí probíhá při konstantní teplotě T1. Bude platit:

    \[W_t=\eta Q=\frac{T_2-T_1}{T_1}ml_t,\]

    kde lt je měrné skupenské teplo tání vody.

    Pro celkovou práci, kterou musíme dodat chladícímu stroji, pak platí

    \[W_c=W+W_t\] \[W_c=mc_v\left[T_1+T_2\left(\ln{\frac{T_2}{T_1}\,-1}\right)\right]+ \frac{T_2-T_1}{T_1}ml_t.\]
  • Číselné dosazení

    \[W_c=mc_v\left[T_1+T_2\left(\ln{\frac{T_2}{T_1}}\,-1\right)\right]+ \frac{T_2-T_1}{T_1}ml_t\] \[W_c=1\cdot{4180}\cdot\left[273+293\cdot\left(\ln{\frac{293}{273}}\,-1\right)\right]+ \frac{293-273}{273}\cdot1\cdot{334}\cdot{10^3}\,\mathrm{J}\] \[W_c\dot{=}27459\,\mathrm{J}\dot{=}27\,\mathrm{kJ}\]
  • Odpověď

    Musíme dodat práci o velikosti přibližně 27 kJ.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze