Sbírka řešených úloh

Izotermická změna volné energie

Úloha číslo: 433

• Zápis

  p1 = 40 kPa = 4·104 Pa	počáteční tlak plynu
  V1 = 15 l = 15·10−3 m3	původní objem plynu
  V2 = 29,2 l = 29,2·10−3 m3	objem plynu po expanzi
  ΔF = ?	změna volné energie

• Nápověda 1 – volná energie F

  Volná energie F je termodynamický potenciál definovaný vztahem

  \[F=U-TS,\]

  kde U je vnitřní energie, T termodynamická teplota a S entropie.

  Jednotkou volné energie je joule.

• Nápověda 2 – elementární změna volné energie dF

  Vyjádření elementární změny volné energie dF dostanete diferenciací definičního vztahu pro volnou energii, tedy

  \[\text{d}F = \text{d}U-T\,\text{d}S-S\,\text{d}T.\]

  Hodnoty některých veličin z tohoto vztahu však neznáme. Rozmyslete si, jak vzorec upravit, aby na pravé straně vystupovaly jen zadané veličiny.

• Řešení nápovědy

  Použitím matematického vyjádření 1. a 2. termodynamické věty ve tvaru

  \[\text{d}U=T\,\text{d}S-p\,\text{d}V,\]

  dostaneme

  \[\text{d}F=\text{d}U-T\,\text{d}S-S\,\text{d}T = -p\,\text{d}V-S\,\text{d}T.\]

  Nyní si ještě musíme uvědomit, že při izotermickém ději je změna teploty rovna nule, tj. dT = 0. Můžeme tedy psát

  \[\text{d}F= -p\,\text{d}V.\]

• Nápověda 3 – celková změna volné energie ΔF

  Celkovou změnu volné energie ΔF určete integrací vztahu pro elementární změnu volné energie dF podle objemu V.

• Nápověda 4 – vyjádření tlaku p(V)

  K vyjádření tlaku p jako funkci objemu V použijte tzv. Boyle-Mariottův zákon.

• Boyle-Mariottův zákon

  Podle Boyle-Mariottova zákona platí:

  \[pV=konst,\]

  kde p je tlak a V objem plynu při izotermickém ději.

• Rozbor

  Vyjdeme z definičního vztahu pro volnou energii, který zdiferencujeme. Získáme tak elementární změnu volné energie. Abychom ji vyjádřili pouze pomocí zadaných veličin, využijeme matematické vyjádření 1. a 2. termodynamické věty. Navíc si uvědomíme, že změna teploty je při izotermickém ději nulová.

  Celkovou změnu volné energie nakonec dostaneme integrací získaného vztahu pro její elementární změnu podle objemu.

• Řešení

  Volná energie F plynu je termodynamický potenciál definovaný vztahem

  \[F=U-TS,\]

  kde U je vnitřní energie, T termodynamická teplota a S entropie.

  Diferenciací definičního vztahu dostáváme vyjádření elementární změny volné energie dF:

  \[\text{d}F = \text{d}U-T\,\text{d}S-S\,\text{d}T.\]

  Užijeme-li matematické vyjádření 1. a 2. termodynamické věty ve tvaru

  \[\text{d}U=T\,\text{d}S-p\,\text{d}V,\]

  můžeme psát:

  \[\text{d}F=\text{d}U-T\,\text{d}S-S\,\text{d}T = -p\,\text{d}V-S\,\text{d}T.\]

  Jelikož se však v našem případě jedná o izotermický děj, je elementární změna teploty rovna nule, tj. dT = 0. Elementární změna volné energie dF je tedy zde rovna záporně vzaté elementární práci plynu dW:

  \[\text{d}F=-\text{d}W=-p\,\text{d}V. \]

  Celkovou změnu volné energie ΔF vypočítáme integrací uvedeného vztahu podle objemu V:

  \[\Delta F= -\int\limits_{V_1}^{V_2}p\,\text{d}V.\]

  K vyjádření tlaku p jako funkci objemu V použijeme tzv. Boyle-Mariottův zákon

  \[p_1V_1=pV.\]

  Odtud ihned dostáváme

  \[p=\frac{p_1V_1}{V}.\]

  Nyní můžeme přistoupit k samotné integraci:

  \[\Delta F= -\int\limits_{V_1}^{V_2}p\,\text{d}V = -\int\limits_{V_1}^{V_2}\frac{p_1V_1}{V}\,\text{d}V = \]

  vytkneme konstanty před integrál

  \[= -p_1V_1\int\limits_{V_1}^{V_2}\frac{1}{V}\,\text{d}V = \]

  zintegrujeme a dosadíme meze

  \[ = -p_1V_1\,[\ln V]_{V_1}^{V_2} = -p_1V_1\,\ln\,\frac{V_2}{V_1}.\]

• Číselné dosazení

  \[\Delta F= -p_1V_1\,\ln\,{\frac{V_2}{V_1}}\] \[\Delta F= -4\cdot{ 10^4}\cdot 15\cdot{ 10^{-3}}\cdot \ln\,{\left(\frac{29{,}2\cdot{ 10^{-3}}}{15\cdot{ 10^{-3}}}\right)}\,\mathrm{J}\dot{=}-400\,\mathrm{J}\]

• Odpověď

  Volná energie v průběhu děje poklesla přibližně o 400 J.