Sbírka řešených úloh

Pozor, padá tyč!

Úloha číslo: 526

• Moment setrvačnosti:

  Tabulky udávají pro otáčení homogenní tyče délky L a hmotnosti M kolem jednoho z konců moment setrvačnosti

  \[J=\frac{1}{3}ML^2\,.\]

  (Odvození tohoto vztahu je uvedeno v úloze Moment setrvačnosti tyče.)

• Nápověda

  Úlohu lze snadno řešit s využitím zákona zachování mechanické energie. Vyberte dvě situace, ve kterých budete mechanickou energii srovnávat. Nezapomeňte zvolit hladinu nulové potenciální energie.

• Řešení nápovědy

  

  Hladinu nulové potenciální energie zvolíme na úrovni podložky.

  V situaci (1) tyč stojí v klidu. Celková mechanická energie tyče je rovna její potenciální energii. Můžeme si představit, že veškerá hmotnost tyče je soustředěna v těžišti:

  \[E_\mathrm{k1} = 0\,,\] \[E_\mathrm{p1} = E_1 = Mg\frac{L}{2}\,.\]

  V situaci (2) má tyč kinetickou energii:

  \[E_\mathrm{k2} = \frac{1}{2}J\omega^2\,.\]

  Těžiště tyče v situaci (2) je ve výšce x nad podložkou, její potenciální energie je tedy:

  \[E_\mathrm{p2} = Mgx\,.\]

  Výšku těžiště nad podložkou vyjádříme pomocí úhlu α:

  \[x = \frac{L}{2}\cos \alpha\,,\] \[E_\mathrm{p2} = Mg\frac{L}{2}\cos \alpha\,.\]

  Celková mechanická energie tyče v situaci (2) je rovna:

  \[E_2 = E_\mathrm{k2} + E_\mathrm{p2} = \frac{1}{2}J\omega^2 + Mg\frac{L}{2}\cos \alpha\,.\]

  Ze zákona zachování mechanické energie pak plyne:

  \[E_1 = E_2\,.\]

  A tedy:

  \[Mg\frac{L}{2} = \frac{1}{2}J\omega^2 + Mg\frac{L}{2}\cos \alpha\,.\tag{1}\]

  Do vztahu (1) dosadíme za moment setrvačnosti a vyjádříme hledanou úhlovou rychlost:

  \[\frac{1}{2}(\frac{1}{3}ML^2)\omega^2 = Mg\frac{L}{2} - Mg\frac{L}{2}\cos \alpha\,.\]

  Rovnici vydělíme \(M\frac{L}{2}\):

  \[\frac{L}{3}\omega^2 = g (1 - \cos \alpha)\,.\]

  Odtud:

  \[\omega^2=\frac{3g(1-\cos\alpha)}{L}\,,\]

  což jsme měli dokázat.

• Podobná úloha

  Vyřešeno? Vyzkoušejte si i podobnou úlohu Zavěšená tyč.