Sbírka řešených úloh

Úhlová rychlost otáčející se molekuly vodíku

Úloha číslo: 2053

• Zápis

  T = 300 K	termodynamická teplota, při které se molekula otáčí
  J = 5·10−47 kg·m2	moment setrvačnosti molekuly
  ω = ?	úhlová rychlost otáčející se molekuly H2

  Z tabulek:

  k = 1,38·10−23 J·K−1

  Boltzmannova konstanta

• Rozbor

  Příklad máme počítat pomocí klasické kinetické energie. Kinetickou energii otáčející se molekuly vodíku můžeme vypočítat dvěma způsoby.

  První způsob je pomocí ekvipartičního teorému, který udává vztah mezi teplotou a energií plynu. Říká, že na každý kvadratický člen ve výrazu pro celkovou energii připadá hodnota kT/2.

  Druhý způsob je počítat energii otáčející se molekuly ze vztahu pro kinetickou energii rotujícího tělesa. Ve vztahu pro výpočet kinetické energie rotujícího tělesa se vyskytuje úhlová rychlost, jejíž hodnotu chceme vypočítat.

  Oba vztahy udávají kinetickou energii molekuly, musí se sobě tedy rovnat. Z jejich rovnosti pak stačí vyjádřit úhlovou rychlost a vypočítat ji ze zadaných hodnot.

• Nápověda 1 - ekvipartiční teorém

  Kinetickou energii molekuly můžeme vypočítat s využitím ekvipartičního teorému. Co tento teorém říká?

• Řešení nápovědy 1 - ekvipartiční teorém

  Podle ekvipartičního teorému připadá na každý kvadratický člen ve výrazu pro celkovou energii kinetická energie

  \[E_k = \frac{1}{2}kT,\tag{1}\]

  kde k je Boltzmannova konstanta a T je termodynamická teplota.

  Pozn.: Boltzmannova konstanta udává množství energie potřebné k zahřátí jedné částice ideálního plynu o 1 K.

• Nápověda 2 - kinetická energie rotujícího tělesa

  Otáčející se molekulu H₂ si můžeme představit jako rotující těleso. Jaký vztah platí pro kinetickou energii rotujícího tělesa?

• Řešení nápovědy 2 - kinetická energie rotujícího tělesa

  Kinetickou energii rotujícího tělesa vypočítáme ze vztahu

  \[E_k = \frac{1}{2}Jω^2,\tag{2}\]

  J značí moment setrvačnosti a ω je úhlová rychlost.

• Řešení

  Podle ekvipartičního teorému připadá na každý kvadratický člen ve výrazu pro energii hodnota kinetické energie

  \[E_{k} = \frac{1}{2}kT.\tag{1}\]

  Otáčející se molekulu H₂ si můžeme představit jako rotující těleso. Její kinetická energie je pak dána vztahem

  \[E_{k} = \frac{1}{2}Jω^2.\tag{2}\]

  Z rovnosti vztahů (1) a (2) dostaneme vztah

  \[\frac{1}{2}kT = \frac{1}{2}Jω^2.\tag{3}\]

  Vztah (3) upravíme a vyjádříme z něho úhlovou rychlost

  \[ω = \sqrt{\frac{kT}{J}}.\tag{4}\]

  Do vztahu (4) dosadíme zadané hodnoty a vypočítáme úhlovou rychlost otáčející se molekuly H₂

  \[ω = \sqrt{\frac{1{,}38·10^{−23}·300}{5·10^{−47}}} s^{−1}\] \[ω \approx{10^{13}} s^{−1}.\]

• Odpověď

  Úhlová rychlost otáčející se molekuly H₂ je řádově 10¹³ s⁻¹.