Sbírka řešených úloh

Výkon potřebný na přeměnu ledu v páru

Úloha číslo: 351

• Nápověda

  Uvědomte si, jaké všechny děje musí proběhnout, aby se přeměnil led o teplotě nižší než 0 °C na páru o teplotě 100 °C.

  Jaká tepla bude potřeba postupně dodávat?

• Rozbor

  Výkon potřebný na přeměnu ledu na páru určíme jako podíl celkového spotřebovaného tepla a času, za který to chceme provést.

  Celkové teplo, které budeme dodávat, se spotřebuje na ohřátí ledu na teplotu tání, jeho roztátí, dále na ohřátí vzniklé vody na teplotu varu a na její vypaření.

  Celkové potřebné teplo tedy získáme sečtením všech čtyř potřebných tepel.

• Zápis

  τ = 1 h = 3600 s	doba děje
  t1 = −20 °C	teplota ledu na začátku děje
  m = 80 kg	hmotnost ledu
  t2 = 100 °C	teplota páry na konci děje
  tt = 0 °C	teplota tání ledu
  P = ?	výkon potřebný na přeměnu ledu na páru

  Z tabulek:

  cl = 2100 J kg−1 K−1	měrná tepelná kapacita ledu
  cv = 4180 J kg−1 K−1	měrná tepelná kapacita vody
  lt = 334 kJ kg−1 = 3,34·105 J kg−1	měrné skupenské teplo tání ledu
  lv = 2256 kJ kg−1 = = 2,256·106 J kg−1	měrné skupenské teplo vypařování vody

• Řešení

  K požadované přeměně ledu v páru dané teploty musí proběhnout celkem čtyři děje, z nichž každý je podmíněn dodáním určitého množství tepla, jež můžeme díky znalosti tepelných kapacit a skupenských tepel snadno spočítat. Nejprve je třeba ohřát led na teplotu tání 0 °C (dodáno teplo Q₁), poté nechat při stálé teplotě roztát led (Q₂), následně ohřát vodu na 100 °C (Q₃) a nakonec přeměnit vodu v páru (Q₄).

  Pro jednotlivá dílčí tepla platí následující vzorce:

  $$Q_{1} = mc_{l}\left( t_\mathrm{t} - t_{1}\right),$$ $$Q_{2} = ml_\mathrm{t},$$ $$Q_{3} = mc_\mathrm{v}\left( t_{2} - t_\mathrm{t}\right),$$ $$Q_{4} = ml_\mathrm{v},$$

  kde m je hmotnost ledu, c_l měrná tepelná kapacita ledu, t_t teplota tání ledu, t₁ počáteční teplota, l_t měrné skupenské teplo tání ledu, c_v měrná tepelná kapacita vody, t₂ konečná teplota a l_v měrné skupenské teplo vypařování vody.

  Celkové teplo, jež musíme dodat, je pochopitelně dáno součtem dílčích tepel:

  $$Q = Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+Q_{4}. =$$ $$=m\left(c_\mathrm{l}t_\mathrm{t} - c_\mathrm{l}t_{1}+l_\mathrm{t}+c_\mathrm{v}t_{2}-c_\mathrm{v}t_\mathrm{t}+l_\mathrm{v}\right)=$$ $$=m\left[ t_\mathrm{t}\left( c_\mathrm{l}-c_\mathrm{v}\right) -c_\mathrm{l}t_{1}+l_\mathrm{t}+c_\mathrm{v}t_{2}+l_\mathrm{v}\right].$$

  Hledaný výkon P pak již spočítáme jednoduše jako teplo Q dělené časem τ:

  $$P = \frac{Q}{\tau} = \frac{m\left[ t_\mathrm{t}\left( c_\mathrm{l}-c_\mathrm{v}\right) -c_\mathrm{l}t_{1}+l_\mathrm{t}+c_\mathrm{v}t_{2}+l_\mathrm{v}\right]}{\tau}.$$

• Číselné dosazení

  $$P = \frac{m\left[ t_\mathrm{t}\left( c_\mathrm{l}-c_\mathrm{v}\right) -c_\mathrm{l}t_\mathrm{1}+l_\mathrm{t}+c_\mathrm{v}t_{2}+l_\mathrm{v}\right]}{\tau} =$$ $$= \frac{80 \cdot \left[ -2100 \cdot \left( -20\right) +3{,}34\cdot{10^{5}}+4180 \cdot{ 100}+2{,}256\cdot{10^{6}}\right]}{3600}\, \mathrm{W}$$ $$P = 68\, \mathrm{kW}$$

• Odpověď

  Na přeměnu daného množství ledu o teplotě −20 °C na páru o teplotě 100 °C potřebujeme výkon 68 kW.