Ledová dieta
Úloha číslo: 352
Voda nedodává lidskému tělu žádnou využitelnou energii, ale při ohřívání ledu na teplotu lidského těla člověk naopak energii spotřebuje (musí dodat). Kolik kostek ledu o hmotnosti 50 g a teplotě −20 °C by člověk musel spolykat, aby se zbavil pěti kilogramů tuku? Při spálení jednoho gramu tuku při metabolismu v lidském těle se uvolní teplo 38 kJ.
Nápověda
Energie, kterou tělo uvolní spálením daného množství tuku, se využije na
- ohřátí ledu na teplotu tání vody,
- roztátí ledu na vodu
- a ohřátí vzniklé vody na teplotu lidského těla.
Zápis
m1 = 50 g = 0,050 kg hmotnost jedné ledové kostky tL = −20 °C teplota ledu mt = 5 kg hmotnost tuku, který se má spálit H = (38 kJ)/(1 g) = 38×106 Jkg−1 energie uvolněná spalováním tuků N = ? počet kostek ledu Další potřebné hodnoty:
tT = 36,6 °C teplota lidského těla tt = 0 °C teplota tání ledu cL = 2,1 kJkg−1K−1 = 2100 Jkg−1K−1 měrná tepelná kapacita ledu lt = 334 kJkg−1 =3,34×105 Jkg−1 měrné skupenské teplo tání ledu cV = 4,18 kJkg−1K−1 = 4180 Jkg−1K−1 měrná tepelná kapacita vody Rozbor
Nejprve si určíme, kolik energie se uvolní při „spálení“ 5 kg tuku. Uvolněná energie se bude rovnat teplu, které přijme led. Toto teplo se skládá z tepla potřebného na ohřátí ledu na teplotu tání, skupenského tepla potřebného na roztátí ledu a tepla potřebného na ohřátí vzniklé vody na teplotu lidského těla. Odtud určíme hmotnost ledu a z ní počet kostek.
Řešení
Energie uvolněná spálením tuku o hmotnosti mt:
\[E=Hm_\mathrm{t}.\]Teplo, které musíme dodat ledu o neznámé hmotnosti mL, aby roztál a ohřál se na tělesnou teplotu:
ohřátí ledu: \[Q_1 = c_\mathrm{L} m_\mathrm{L} (t_\mathrm{t} - t_\mathrm{L})\]roztátí ledu: \[L_\mathrm{t} = l_\mathrm{t} m_\mathrm{L}\]ohřátí vody: \[Q_2 = c_\mathrm{V} m_\mathrm{}L(t_\mathrm{T} - t_\mathrm{t})\]celkem: \[Q= c_\mathrm{L} m_\mathrm{L} (t_\mathrm{t} - t_\mathrm{L}) +l_\mathrm{t} m_\mathrm{L} + c_\mathrm{V} m_\mathrm{L}(t_\mathrm{T} - t_\mathrm{t})=\]\[\ \, \ = m_\mathrm{L}[c_\mathrm{L} (t_\mathrm{t}-t_\mathrm{L}) + l_\mathrm{t} + c_\mathrm{V} (t_\mathrm{T} - t_\mathrm{t})].\]Energie získaná spálením tuku se má využít na ohřev ledu, tj. má platit:
\[E=Q,\]\[hm_\mathrm{t}=m_\mathrm{L} [c_\mathrm{L} (t_\mathrm{t}-t_\mathrm{L}) +l_\mathrm{t} + c_\mathrm{V} (t_\mathrm{T} - t_\mathrm{t})].\]A odtud vyjádříme neznámou hmotnost ledu a dosadíme zadané hodnoty:
\[m_\mathrm{L} = \frac{Hm_\mathrm{t}}{c_\mathrm{L} (t_\mathrm{t}-t_\mathrm{L}) + l_\mathrm{t} + c_\mathrm{V} (t_\mathrm{T} - t_\mathrm{t})}\]\[m_\mathrm{L} = \frac{38 \cdot{10^6} \cdot 5}{2100 \cdot [0-(-20)] + 3{,}34 \cdot{10^5} + 4180 \cdot (36{,}8 - 0)}\,\mathrm {kg} \dot= \]\[\ \, \ \dot= 360 \,\mathrm {kg}. \]Nakonec určíme počet kostek ledu:
\[N = \frac{m_\mathrm{L}}{m_\mathrm{l}}=\frac{Hm_\mathrm{t}}{m_\mathrm{l}[c_\mathrm{L} (t_\mathrm{t}-t_\mathrm{L}) + l_\mathrm{t} + c_\mathrm{V} (t_\mathrm{T} - t_\mathrm{t})]},\]\[N \dot= 7200.\]Odpověď
Při použití „ledové diety“ by bylo třeba na spálení pěti kilogramů tuku spolykat přibližně 7200 ledových kostek, což odpovídá asi 360 kg ledu.
