Sbírka řešených úloh

Rovnovážný stav vody a ocelového závaží

Úloha číslo: 362

• Nápověda 1

  Uvědomte si, co pro nějakou soustavu znamená, když se o ní řekne, že je v rovnovážném stavu.

• Nápověda 2

  Předpokládejme, že soustava je tepelně izolovaná.

  Rozmyslete si, v jakém vztahu musí být teplo odevzdané ocelovým závažím a teplo přijaté vodou.

• Rozbor

  Při ponoření teplejšího tělesa do chladnější vody bude toto těleso předávat teplo vodě, dokud soustava nedojde do rovnovážného stavu. To znamená, že výměna bude probíhat do doby, než se teploty tělesa a vody vyrovnají.

  Pokud budeme naši soustavu pokládat za izolovanou, pak se teplo odevzdané předmětem musí rovnat teplu přijatému vodou. Z této rovnosti určíme požadovanou teplotu.

• Zápis

  m1 = 0,9 kg	hmotnost ocelového závaží
  t1 = 300 °C	počáteční teplota ocelového závaží
  m2 = 2,5 kg	hmotnost vody
  t2 = 15 °C	počáteční teplota vody
  tv = ?	výsledná teplota soustavy v rovnovážném stavu

  Z tabulek:

  co = 452 J kg−1 K−1	měrná tepelná kapacita oceli
  cv = 4180 J kg−1 K−1	měrná tepelná kapacita vody

• Řešení

  Ocelové závaží odevzdá při svém ochlazování na výslednou teplotu t_v < t₁ teplo Q_od, jehož velikost je v souladu s definicí měrné tepelné kapacity dána vztahem

  \[Q_\mathrm{od} = m_{1}c_\mathrm{o}\left( t_{1} - t_\mathrm{v} \right) ,\]

  kde m₁ je hmotnost předmětu a c_o je měrná tepelná kapacita oceli.

  Podobně voda při zahřátí na teplotu t_v > t₂ přijme teplo

  \[Q_\mathrm{d} = m_{2}c_\mathrm{v}\left( t_\mathrm{v} - t_{2} \right) ,\]

  kde m₂ je hmotnost vody a c_v je měrná tepelná kapacita vody.

  Protože soustavu pokládáme za tepelně izolovanou, má odevzdané a dodané teplo stejnou velikost.

  Dosazením do rovnosti obdržíme rovnici:

  \[Q_\mathrm{od}=Q_\mathrm{d},\] \[m_{1}c_\mathrm{o}\left( t_{1} - t_\mathrm{v} \right) = m_{2}c_\mathrm{v}\left( t_\mathrm{v} - t_{2} \right),\]

  ze které vyjádříme hledanou teplotu t_v:

  \[t_\mathrm{v}\left( m_{2}c_\mathrm{v} + m_{1}c_\mathrm{o} \right) = m_{1}c_\mathrm{o}t_{1} + m_{2}c_\mathrm{v}t_{2},\] \[t_\mathrm{v} = \frac{m_{1}c_\mathrm{o}t_{1} + m_{2}c_\mathrm{v}t_{2}}{\left( m_{2}c_\mathrm{v} + m_{1}c_\mathrm{o} \right)}.\]

• Číselné dosazení

  \[t_\mathrm{v} = \frac{m_{1}c_\mathrm{o}t_{1} + m_{2}c_\mathrm{v}t_{2}}{\left( m_{2}c_\mathrm{v} + m_{1}c_\mathrm{o} \right)} = \frac{0{,}9\cdot{452}\cdot{300} + 2{,}5\cdot{4180}\cdot 15}{\left( 2{,}5\cdot{4180} + 0{,}9\cdot{452} \right)}\, \mathrm{^{\circ}C}\] \[t_\mathrm{v} \dot= 26\,\ \mathrm{^{\circ}C}\]

• Odpověď

  Zjistili jsme, že výsledná teplota vody a ocelového závaží bude asi 26 °C.