Teplota oxidu uhličitého
Úloha číslo: 396
Oxid uhličitý je uchováván v ocelové láhvi o objemu 22 l při teplotě 290 K a tlaku 2 MPa. Odhadněte jeho výslednou teplotu, rozepne-li se uvedený plyn po otevření kohoutku na tlak atmosférický 101 325 Pa.
Polytropický koeficient proběhlého děje je η = 1,293.
Při řešení úlohy považujte oxid uhličitý za ideální plyn.
Nápověda 1 – polytropický děj
V úloze se jedná o polytropický děj s ideálním plynem, pro jehož tlak p a objem V platí
\[pV^{\eta}= \mathrm{konst.}\]resp. pro počáteční tlak p1 a objem V1 a pro koncový tlak p2 a objem V2
\[p_1V_1^{\eta} = p_2V_2^{\eta},\]kde η je polytropický koeficient.
Poznámka: Všimněte si, že speciálními případy polytropického děje jsou děje adiabatický (η = κ) a izotermický (η = 1).
Nápověda 2
K výpočtu výsledné teploty T2 použijte stavovou rovnici ideálního plynu stálé hmotnosti.
Rozbor
Nejprve si napíšeme vztah mezi počátečními a výslednými tlaky a objemy, který platí pro polytropický děj s ideálním plynem, a vyjádříme z něj výsledný objem.
Teplotu oxidu uhličitého po jeho rozepnutí potom určíme ze stavové rovnice ideálního plynu stálé hmotnosti.
Zápis
V1 = 22 l = 22·10−3 m3 počáteční objem oxidu uhličitého T1 = 290 K počáteční teplota oxidu uhličitého p1 = 2 MPa = 2·106 Pa počáteční tlak oxidu uhličitého p2 = 101325 Pa atmosférický tlak η = 1,293 polytropický koeficient T2 = ? výsledná teplota oxidu uhličitého Řešení
Protože se zde jedná o polytropický děj s ideálním plynem, platí mezi počátečními a výslednými objemy a tlaky rovnice
\[p_1V_1^{\eta} = p_2V_2^{\eta},\]kde η je polytropický koeficient. Odtud vyjádříme neznámý objem V2:
\[V_2 = V_1 \sqrt[\eta]{\frac{p_1}{p_2}}.\]Výslednou teplotu oxidu uhličitého určíme ze stavové rovnice ideálního plynu, která pro tento děj platí také
\[\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}. \]Vyjádříme z ní neznámou teplotu T2
\[T_2 = \frac{p_2V_2T_1}{p_1V_1} \]a dosadíme získaný vztah pro V2
\[T_2=\frac{p_2T_1V_1}{p_1V_1}\sqrt[\eta]{\frac{p_1}{p_2}} = \frac{p_2T_1}{p_1}\sqrt[\eta]{\frac{p_1}{p_2}}.\]Číselné dosazení
\[T_2 = \frac{p_2T_1}{p_1} \sqrt[\eta]{\frac{p_1}{p_2}}= \frac{101325\cdot{290}}{2\cdot{10^6}} \,\cdot\,\sqrt[1{,}293]{\frac{2\cdot{10^6}}{101325}}\,\mathrm{K} \dot{=}148\,\mathrm{K}\]Odpověď
Výsledná teplota oxidu uhličitého je přibližně 148 K.
